5o4 CHAP. IX. DE L’INTÉGRATION DES ÉQUATIONS

Soit fz ce facteur, et supposons que jxPdx -j-jwilcb soit une

différentielle exacte, on aui’a (548)

d.yR _ à.fxQ d./Æ _ à.(AP d.y.Q _ d.uP

dy ' dz y dx dz. * ~cLc dy '

Ces équations étant développées deviennent

/dR dO\ . r>d‘j. „ dw 1

/d/î dP\ p djJ. n du \ .

/dQ dP\ . ^dy. D dw l

KdÎE ~ -$) + ~ p — °J

et l’on s’apperçoit bientôt que la fonction /u s'en élimine, en multipliantla première par P , la seconde par — Q , la troisième par R, et enajoutant les produits ; car la somme étant divisible par /-c, donne

dR

d J

,dQ

dz

dR

dP

Q£+.Q%- + *

dz

i d JL

dx

=<>(*)>

équation de condition sans laquelle la proposée ne peut devenir unedifférentielle exacte, quel que soit /U.. Lorsqu’elle sera satisfaite, ladétermination de M ne dépendra que de deux quelconques des trois

équations (J).

yi4- On parvient à l’équation (R) par l’application immédiate duthéorème du n° 546, en considérant que si l’on avait l’expression, pri-mitive de z en a; et y, et qu’on la substituât dans celle de dz Urée del’équation

Pdx -j- Qày -f- Rdz = o,

il en résulterait nécessairement une différentielle exacte à deux variables,de la forme ds = pdx + qày , et l’on aurait —actuel, où l’on a

l ~. Mais dans le casdx

_ P Q

P — R y q — il »

P j Q et P renfermant z, il faut dans les différentiations indiquées ,1e fairevarier aussi, et substituer en conséquence/? et q a la place de et ^ ^