Will man den ganzen Umfang der Ellipse berechnen, deren grö-ßere und kleinere Halbaye a und b sind, so muffe» alle Integrationenvon 0 = o bis 0 --- 2 ^ sich erstrecken. Dann aber nehmen rc.

und ö genau dieselben äußersten Werthe an, folglich erhält man fürden erwähnten Umfang die unendliche Reihe

ZL £ a * .j. b* — 16 (2 h; -}- 2* h“ + 2- h; -f_)].

Es sey nun s ein in dem Puncte x, y, z sich endigender Bogenirgend einer im Raume verzeichneten Curve, und 0 die Projection des-selben auf die Ebene xy, so liegen s und s in einer auf der Ebene xysenkrecht stehenden Cylinderfläche (dieses Wort in weiterer Bedeutunggenommen), welche alle von den Puncten des Bogens s auf die Ebenex y gehenden Perpendikel in sich enthält, und offenbar einer Ausbreitungin eine ebene Fläche ohne Änderung der Längen von 8 und s fähig ist.Dabei verwandelt sich er in eine gerade Linie, welche als die Absciffen-are für s betrachtet werden kann, so, daß dem Endpuncte von 8 nun-mehr die rechtwinkligen Coordinaten a und z entsprechen. Wir habenalso der oben für ebene Curven bewiesenen Formel zufolged s = \/d s 1 -j- d z 2 .

Aber s ist in seiner ursprünglichen Gestalt ein Bogen einer ebenenCurve, deffeu Endpuncte die rechtwinkligen Coordinaten x und)' ge-hören, und daher

es ist demnach(b)

da = \dx x -}- dy % •,

d s — \/c(x* + dy z -f dz 1 .

Drückt man mittelst der Gleichungen der Curve dy und dz bloßdurch x und dx aus, so wird die Rectisicatio» dieser Curve nach der Formel

-/dx V . +

d y- . d •/?■

H ' Zx 2

Vollzogen werden können.

Wir bemerken hier noch, daß mit Hülfe dieses Ausdruckes für ds,die in der fünfzehnten Vorlesung gefundenen Formeln für den auf denPunct x, y, z einer Curve sich beziehenden Krümmungshalbmeffer pdie einfacheren Gestalten/ \ d s !

(7) P —

V* d s- (d- x 2 -j- d- y 2 -j- d- ss 2 ) — d" s-

d s

WW/WfWW

annehmen.