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Neunzehnte Vorlesung.

Über die Quadratur i>er ebenen Curven, und über

die Cvmplanativn und Kubirung der krummen

Flächen.

^--ssne ebene krumme Linie quadriren heißt die Oberfläche ei-ner ebenen Figur berechnen, welche entweder ganz von dieser krummenLinie, oder nur von einem Bogen derselben und von geraden Linienumschlossen wird. Im gewöhnlichen rechtwinkligen Coordinatensystemehat man es dabei im Allgemeinen mit einem Vierecke ABKH (Fig. 10)zu thun, wovon eine Seite AB ein Bogen der Curve, und die übri-gen Selten A H, BK, HI{ die Ordinate» der Endpuncte dieses Bo-gens und das zwischen ihnen liegende Stück der Abscissenare sind.

Um die Oberfläche dieses Viereckes zu finden, nehme man aufdem Bogen AB einen unbestimmten Punct M an, dessen CoordinatenOB und MP durch x und y bezeichnet werden, und lasse die Abscissex um die Differenz Pp = Ax wachsen, so geht die Ordinate y inmp = y-|-Ay über, und die Oberfläche B der Figur AMBH än-dert sich um das Stück MmpP = AF. ES ist immer möglich Axso klein, folglich m so nahe an M zu wählen, daß y bei dem Übergängevon x in x -J- Ax stets wächst, oder stets abnimmt. Unter dieser Vor-aussetzung zeigt sich, wenn mau aus M und m auf mp und MB diePerpendikel Mr und rnn fällt:

MmpP > MtpB und MmpP <[ nmpP,oder AF > yAx » AF < (y-s-Ay) Ax,

folglich ^ > y » ^7 < y + Ay.

Da diese Resultate Statt finden, wie klein auch immer Ax seynmag, so ist offenbar in Bezug auf das unendliche Abnehmen von Ax

a F ,1 f

also

(0

d F = ydx

und

( 2 )

F = sy d x;