3°4
Excerptum
QUARTUM.
Df Serie-»us '
EXCERPTA
E X
Ubi nota, quod cum n eft numerus impar, feries definet effe
finita,
dupli rectanguli xp x nc, vel dupli xp x po, ad quadratum ex ac, et quadrati ex ac ad quadratusex ab. Sed ex hiice compoiita eft ratio dupli redtanguli xp x pczd quadratum ex ab. Et e na-tura. hvpcrbol® a-quilaterx, duplum redtanguli xp x po quadrato ex gh eft squale. Ratio ig' turultima redtanguli evanefeentis xp ad evanefeens yz ea eft quam quadratum ex gh habet ad q 11 ®viratum ex ab, five redae gh ad circuli radium ab duplicata. Ac similibus propius argumenti 3rcdtangulorum evunelcentium «m, gz eadem ratio ultima efficietur. Quare et arearum roM» v »TAzr eadem inter ipias ratio erit. (De Rat. Prim. et Ult. Prop. iv.) E. D.
20. Car. In refla zr capiatur zA ad quam illa zr rationem habeat duplicatam ejus quam ab ^GH ; et duci intelligatur linea curva A©S, quam pundtum A perpetuo tangat, cui redta AT inpunfto 0 occurrat. Area ©aza hyperbolicre pomn squalis erit. (Hoc vero ad exemplum Co-rollarii Thcor. 2. ex Corollario H. i. Prop, iv. Traflatus Nevvtoni De Rat. Prim. et Ult. & e 'monftrandum eft.)
21. Cum igitur rationis ejus quam go habet ad gm, hoc eft, quam ae radius circuli oMb6t ad ed tangentem arcus B.8, area pomn pro modulo |gh" iit logarithmus, ad logarithff® 111illum generaliter definiendum opus erit aream ©AZA generali formula expofuiffe. Id vero h® 0fere computatio prsfcabit.
'22. Defignet Iit era r circuli radium ae, feu illi squalem redtam go : litera q quadran-tem circuitus circularis, cujus femiffis, redta AX, fymboio \q defignanda erit. Defig ne ^litera z arcum BB, five redtam xz arcui illi aqualem; litera t arcus B B tangentem bd, veilli squalem redtam gm ; litera f . redtam af fecantem complementi dupli arcus Bi?, fivelem illi redtam zr. Defignet denique litera r, dimidium quadrati ex gh. Jam cum zr j 1ad zA ut quadratum ex ae ad quadratum ex gh, hoc eft, f \ ZA ~ r ': 2B, liinc fcilicet effi cie '
tur ZA = Redta vero Az — Ax —zx —q — z
r
Quare fluxio refls az — — z : etarea; ©AZA = — x — «. Arcum be defignet litera y. Et cum arcus ee is fit, quo duplus
abeft a quadrante, erit y rr q — zz. Ergo j> — — 2z, et — — — z. Subftituendo igitur hoc fy 111
bolum — pro illo — z, efficietur fluxio arex ©AZA2
r
Sed cum/fecans fit arcusj, hujus
fe-
llei r + ^—+
2 r 24 r 3
61
720 1
—y 6 + , ii infinite ea producatur, fumma redtx f ultimo fit aqualis. (§ 9'
hujus.) Hxc igitur feries fi in fymboio fluxionis ares ©AZA pro litera/fubftituatur, efficitur fluxio
+ . Ergo area ipfa©AZA-
iU»
— B X
^ +
y y
+
syy
24 r 5
+
720 r !
2 7 7/i
+
50?2l), 7
E X
y
+
6,-3
80641- 7 36288oor‘ 1
y_
241-,
+
t>iv 7
+
-777
+
505214,
+ . Atque hxc eft for ® 1
ii»
generalis logarithmi rationis ejus quam tangens arcus cujufpiam ad radium habet, pro mod 11 ^
50401-' 725761- 9 ' 399i6Soor‘’
ngens arcus cujufpiam ad _^
b (vide Commere. Epiftol. N° >:x.) Quod fi iplius radii logarithmus, pro eodem modulo, defigjjS-
Tang Log. tur litera r,1ixc erit Tangentis Logarithmicae formula generalis r + ex - + r-^+ —rH- ^ 7 ^'
r 6 r > 24 r s 5°"f 0 . , e
X ' fignorum, +, —, hoc vel illo ufurpato, prout arcus z dimidio quadrante minor m a J° rvfuerit.
23. Jam fi ex data Tangente Eogarithmica Arcum definire cupias, defignet litera t datam tangtem logarithmicam arcus cujufdam, quem litera z delignat. Defignet autem litera r logarifhj 11 ®ruro R, t differentiam, five rationis ejus logsrithmum, quam tangens arcus z ad circuli radhabet. Tum litera4- arcum cum deiignante quo duplus z abeft a quadrante, efficitur ex iis djam oftenfa funt.
By T y‘r br 1
E4,'
+
61
w
+
! 77 b/
+ .
24?-’ 5040?-' 725761^
24. Et haneferiem invertendo opeThcorematis 2.ExcerptiII, veniet4,,five q — 2z , —
r
"0