r ^

nn

* X 3 dd XX A +

EPISTOLI

Q — nn 2 C — nn .4*3 — nn

V ; XX~& + ~7~ —;— 7, XXC -f ¥—?, XXD +

303

4x5^^-" ' 6 X 7 dd ' 8 X 9 dd ""~ • IO XXE + &C ‘

Ubi

*Oi

later AC rc ^ a! DB ' in F occurrat, ut fit rcdla AF fecans complementi dupli arcus B B. Sit hypcrhola re qui- Gr EGORI-a f°fitione data, NHP, cujus centrum G, femiaxis reBa GH data cujufiuis longitudinis, afymptota reBa anis.

) pl- pojitione data, et ad perpendiculum inter fe compofita. Harum in alterutra, puta in GK capiatur! ecqualis, et gm ecqualis redice ed arcus Illi tangenti; et epunllis o, M educantur adUm op, mn hypcrbolam ufque; cui illa inpunBis i>, n occurrant. Sit etiam curva Ttv, cujus

Go

P ^ndUuin

l;j* f na jnra, ut fi in reBa pojitione data, XA, d dato in eapundlo x initio fumpto, capiatur Xz arcui cui-plem C! ’ cv ll aqualis, reBa zT, a punBo z ad perpendiculum eduBa curvam ufque, fecanti com-Xz ' lti ^dupli arcus aqualis fit. His pofitis, fit in axe curva capiatur XA aqualis dimidio quadrantis ,ad JCr ° arcui illi Bli, cujus tangenti, ED, accepta cfi gm in afymptota hyperbola aqualis, eduBis

plicat^ en< ^ lCU ^‘ m ^ T ’ area byperbolica pomn ad aream ATFZ datam rationem habebit: nimirum du -a,n e jus quam femiaxis hyperbola GH halet ad circuli radium ab.

(^^•Capiatur enim arcus BQjEqualis dimidio quadrantis ; diviso autem arcu _Z?Q_, differentia uti-^ a rcusBi? et dimidii quadrantis,in partes quotlibet five aequales live inaequales,7?^, ^3,/SojundtaeI>lo A ^’ ^ rodudt« que tangenti bd in pundtis r, c, r occurrant. Sumantur arcus b e, b; du-Gm arcuum b b, b/3 complementa ; jundtsque Ar, A- et produdt« redt« Bf in punctis/ - , <p, oc-j, T Gt. j n afymptota hyperbolae gk, fumantur g m , Gy tangentibus b r , bc ; in axe vero curvce« y> fumantur Xz, x£ arcubus b b, e/ 3 «quales. Ita redtarum om, AZ in partes numero aequales10 fiet, quarum illae ou, ym, nm tangentium differentiis rc, cr, m; hae a£, £z, zz arcubusbB aequales erunt. Adivifionum pundtis, y , m; £, z, educantur ad perpendiculum curvas'liic quidem foc, hic vero ^7, zg, compleanturque redtangula Fy, xm, nn; yz, gz.Jugulum Vy ad redtangulum rorationem habet compotitam e rationibus redt« po ad rectamq u ’.^ ffiqile o y ad redtam a|: vel, cum redta At, ex natura curvae rrv, circuli radio ae fit «-afi' * S ’ e dationibus redtae po ad redtam ae redt«que rc ad arcum qB. Redtangulum quoque m*.fg^^Gugulum 7Z rationem habet compotitam e rationibus rect«-*^ ad redtam >0 reftaeque ym ad

natu

a fy ; vel e rationibus redt;e xy ad redtam Ap redtaeque cr ad arcum /33. Redta enim yg,

|! a c Urvas srv, redtae Ap eft aequalis; nempe cum ai p fecans fit arcus a- qui complementum e itO rc * s b/ 3, cui abfcilfa x0 ponitur «qualis. Ratio denique redlanguli nn ad redtanguium gz.j^pofita e p ^ rationibus rectae nm ad redtam a/", redta:que ne ad arcum bB.

Ver ° fi arcurum o§, Bb, bB numerus infinite augeatur, magnitudinibus

vero ti arcurum qP, Bb, bB numerus intinite augeatur, magmtuamiDus fmgulorum infiniterefj ^entibus, unde partium quoque redtae om, videlicet ipfarum Oy, ym, nm ; necnon partium-.r u * videlicet ipfarum a£, fy, zz numerus pariter infinite crelcet, magnitudinibus fingula-qg ln ^nite decrescentibus; hoc inquam fi fiat, ratio ultima evanefeentis rc ad evanefeentemi-gjj* 3 er * t 5 qua: eft quadrati ex ar ad quadratum ex A<i_vel ab. (§ 8. hujus.) Qux igitur ba rc ° ni ^ Us redtae po ad redtam ab redtxque rc ad arcum n/3 compofita eft ratio, ultimo fciiieet,r«,q ^ redtaque rc evanefeente, ea illi erit aequalis, quae componitur e rationibus recta; po ad‘Geri 1 AB et quadrati ex ar ad quadratum ex ab ; five e rationibus redtx po ad redtam ab nu-tUm 'iue binarii ad unitatem. Nam propter angulum aer redtum, et femiredtum rab, q.iadrn-r c a ^ x duplum eft quadrati ex ab. Quae igitur e rationibus redtx op ad redtam ab, redtaequer e( cj. aic um compofita eft ratio, ultimo fciiieet arcu q B evanefeente, quae ex prius oftenfisr e< ^ S l| h evanefeentis p y, ad evanefeens ultima eft ratio, ea illi erit «qualis, qute eft dupla»t er Go P ° ac ^ redtam ab ; five dupli redtanguli po x ab ad quadratum ex ab ; fxve denique (prop-seq U j. ’ As inter fe «quales) dupli redtanguli po x og ad quadratum ex ab. Sed, ex hyperbola:.eva nej eiK datura, duplum redtanguli po x og quadrato ex gh eft «quale. Redtanguli igitur

P c enti3 aci evanefeens ratio ultima redt« gh ad circuli radium ab duplicata ent.

. ''Om. -—™- rationibus redis xy ad redtam Ap redtaque cr ad arcum /3fy

yz ratio ulti-

liltc ratio quee componitur e

j licet arcu @b evanefeente, five redtanguli evanefeentis xm ad evanefeensfiUad * C ’ ^quam, illi erit «qualis, qu« componitur e rationibus redtee xy ad redtam Ap, etxy ^ riltl ex ac ad quadratum ex a B (§ 8. hujus), vel e talionibus redtanguli x.y x yc, velqui c C Sc * A ? 1 X ec et quadrati ex ac ad quadratum ex ab. Secl ciim Ap fecans fit arcus b*,i'cQ P '^Plementum eft dupli arcus b|3, cujus tangens quidem eft ec, ac verb fecans, propter h«cGeidg^. 0 ^ 01 At P X Eo dimidio quadrati ex ac «quale eft. (Cor. Theor. z.) Quare redtanguli eva-' <>n at ^ evanefeens ya ratio ultima «qualis eft compofita e rationibus redtanguli*^ x bc ad

,ni quadrati ex ac, et quadrati ex ac ad quadratum ex ab ; five compofita;

rationibus-dupli i