von A. F. Möbius.

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Hiernach ist Q der gegenseitige Durchschnitt von AC und II UU undes verhält sich

sin BU : sin U Q — <1 ■ mt = — sin BU V : sin U { Q,

so dass der zwischen II und A C enthaltene Bogen B Q eines jeden durch Bgelegten Hauptkreises von dem kleinern Kreise in U und U x harmonisch ge-lheilt wird.

— Da hierbei nicht in Betracht kömmt, dass AB - BU, und m =2 sin '/> B ist, so wird das eben Erwiesene von jeder durch A + mtB + ttCausgedrückten Curve gelten, welches auch die gegenseitige Lage der Funda-mentalpunkte und welches auch der Werth der Constante m ist, d. h. von je-der Linie der zweiten Ordnung, welche AB und BU in A und C berührt.Denn dass von jeder solchen Linie der Ausdruck auf jene einfache Form zu-rückgebracht werden kann , lässt sich folgendergestalt kurz darthun.

Die allgemeine Gleichung einer Linie der zweiten Ordnung istaxx + byy -j- czz + fyz + gzx + hxy - ü (§. 23.).

Damit diese Linie durch A gehe, als Tür welchen Punkt y und z nullsind, darf für y = 0 und zr = 0 nicht auch x = 0 werden; folglich mussa = 0 sein; und eben so muss, damit die Linie durch C gehe, c = 0 sein.Hierdurch reducirt sich die Gleichung auf

byy + fys + gsx + hxy = 0 *).

Auf dieselbe Art, wie im vorigen §., ergiebt sich ferner, dass, damitnoch die zweiten Durchschnitte der Curve mit AB und ,4 C in A und C selbst

fallen, resp. die Coeflicienten von xy und von yz, d. i. h und f, null seinmüssen. Die Gleichung wird somit

byy + gzx — (), und es verhält sich daher

H xx

m f setzt; folglich -u. s. w

a

wenn inan

b

c. I.egt man durch einen beliebigen Punkt U (Fig, 7.) des kleinerenKreises zwei Hauptkreise AU und CU, welche IIC und AB in S und Tschneiden, so ist

T = A + mtB, S = mtB + tt 0;

t

mithin verhält sich

sin A T: sin TB — mt: I , sin CS : sin SB — m : t ;

*) Soll die Linie 1H) eh den Fiindainentiilpunkl II treffen, so muss /; = 0 sein. Die(ileieliung für eine durch die drei Fundamenlnlpunklc J)eselniebene Linie der zweitenOrdnung ist demnach

l'i/z !/zx -f hxy = 0.