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Von der Auflösung der Gleichungen mitHülfe arithmetischer Reihen höhererOrdnungen.

§. 49.

Jede Gleichung führt, wenn man sie auf die Reihe dernatürlichen Zahlen, 1, 2, 3, 4 ... . anwendet, aufeine arithmetische Reihe von derselben Ordnung, von derdie Gleichung ist. A. B. eine Cubische auf eine Reihedritter Ordnung, eine biquadratische auf eine Reihe vier-ter Ordnung, u. s. w.

2) Für die reinen Gleichungen, als x? bst, ist esschon im vorigen gezeigt. Wenn man diese auf die Zah-len l, 2, 3 .... anwendet und die unbekannte Größex der Reihe nach diesen gleich setzt, so erhält man» 8 27 b.st 1 o5

welches eine arithmetische Reihe dritter Ordnung ist, diedie Differenz 6 hat.

Diese bleibt eine Reihe dritter Ordnung, wenn manalle Glieder mit derselben Zahl multjplicirt, z. B. mit5. Man hat dann

5 stc»

,35

3oo bs5

I.

Untersch.

35

95

i85 3o5

II.

Untcrsch.

60

90

120

III.

Untersch.

3o

3o

Alle Glieder sind hierdurch ums Fünffache größergeworden, und die Differenz, die vorher 6 war, ist nun3o. Die Ordnung der Reihe ist aber dieselbe geblieben.

31 Ge-