chose que

AL

n p n o

A= A m ?'

Ainsi j la règle donnée ( 20 et 25 ) pour les exposansentiers, positifs et négatifs, s’étend aux cas des expo-sans fractionnaires positifs.

32. Le quotient de la division d'une quantité radi-

m m

cale y/A par une autre quantité radicale y/B, du môme

m /A

degré, s'exprime par \f -g. Pour le démontrer, Sup-ra m

posons y/A = x et y/B = y, alors nous aurons

. _ A. asm

A = xm , B —fm et g =—,

Prenant la racine m des deux membres de cette der-nière égalité, elle devient

m m m

\ /A _ x y / A y/A

V B -y ° U V B ^ R -

33 . Lorsque les quantités radicales sont de degrés dif-férens, on les ramène d’abord au même degré commeci-dessus ( 3 o), et l’on obtient sans difficulté,

mn. mn,

y/A : y/B = ÿ/A n : \7fi m = y/A» : B m .

m n mn mn mn_

y/A/' : y/B? = y/A /" 1 : y/B m ? = y/AP» : Bm?.

34. Faisant A = B dans la dernière de ces expres-sions , elle devient

m n. nin _

y/AP : y/A ? = y/A pn—mq.

ou, identiquement, (b)

P ? £_?

Am : An = A m ”•

La règle du numéro 23 s’étend donc aussi au cas des ex-posaus fractionnaires.

35 . Si dans l’égalité (ï>) on fait^ = o, elle deyipqt

i _?

~lj = A »•

A"

Ainsi, les puissances à exposans fractionnaires négatifs0n t la même signification que les puissances à exposansentiers négatifs (24).

Il est facile de conclure, de cette dernière proposi-bon , en suivant la marche du numéro 25, que les rè-gles de la multiplication et de la division des puissances’L'.-.ne même basa embrassent le cas des exposans frac-tionnaires négatifs; c’est-à-dire que, quels que soient

4 L 5 S

les exposans m et n entiers ou fractionnaires , positifs ounégatifs, oi) a généralement

Am

Am X A» = A*»+» et —= Am—».

36 . La puissance m d’une quantité y/A, ou

n. _

est la même chose que y/Am, et la racine m de cettem n mn

même quantité, ou y/(y/A) , est égale a y/A.

En effet (y/A )m exprime le produit y/A X y/A X

y/A.. etc..., m étant le nombre des facteurs. Or, ceproduit peut se mettre sous la forme

y/(A X A X A X A... etp.) ou y/A m .Quanta la racine m, si nous supposons l’égalité

mn x

y/(y/A) = y/A,

nous obtiendrons d’abord, en élevant les deux mem-bres à la puissance m, une seconde égalité

y/A = y/A»

Donc, élevant encore les deux membres à la puissance n,nous aurons la troisième égalité

a;

A = y/A mn.

Élevant enfin les deux membres de cette dernière àla puissance x , nous obtiendrons

A* = A m ".

Ce cjui nous donne x = mn, et par conséquentm n mn

V/(y/A) = y/A.

3 7. Il nous reste à examiner de quelle manière laqualité des résultats, ou leur état positif et négatif - estliée avec celle des quantités données dans les deux opé-rations de l’élévation aux puissances et de l’extractiondes 'racines. Commençons par l’élévation aux puis-sances.

Quatre cas se présentent :

i°. La base et l’exposant sont positifs. Alors il estévident que la puissance est également positive, etqu’on a

( +A) (+B) =( + C).

Désignant, comme nous l’avons fait ci-dessus , par lessignes-}- et — renfermés entre des accolades, l’état desnombres sur lesquels on opère, afin de piieux faire sai-sir les règles de leurs combinaisons.

2 0 . La base est négative et l’exposant positif. La puis-sance peut être dans ce cas positive ou négative, selonque l’exposant sera pair ou impair ; c’est-à-dire selonque l’exposant sera multiple ou non de 2. En effet,soit m un nombre quelconque, o, 1, 2, 3 etc. depuis