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AL
Al
car
A-™ =
A»*’
A—» =
I
ainsi,
A-m X A-n^—-X
i i
A» — A» l +"
(* 7 )*
Or,
de même,
i
ïm+»
A-*-» ;
A— m _ i i _A n
A—” ~~ À™ ’ Â" À™
An-m(,8).
26. On élève une quantité exponentielle à une puis-sance quelconque en multipliant son exposant pàv celuide cette puissance; c’est-à-dire que (A m ) n = A mn .
L’expression (A m )" désigne le produit A m X A m XA m X A m X etc....) n étant le nombre des facteurs A m ;mais ce produit se réduit à A m + m +’"+ etc -, ou à A mn ,puisque etc. = mn.
La puissance t d’un produit A m . B» . C P . D? . etc.s’exprimera donc indifféremment par (A nl . B”. O. D?.etc. )* ou par A mt . B n< . CP*, etc.
27. La racine n d’une quantité A w ou y/A m est égalem
â A” ; car, soit m = pn , nous avons
y/A"> — y/Ap" = y/Ap)».
n n.
Mais, en général, y/X" =X; donc, yA m = A P ==, puisque l’égalité m=pn nous donne p = ~
Cette déduction suppose que ni est divisible par n,ou que p est un nombre entier; seul cas dans lequel onpeut prendre exactement la racine. Lorsque cela n’a paslieu, on conserve néanmoins la notation
n 51
y/A* = A",
qui nous donne la signification d’une puissance à expo-sant fractionnaire.
B ,
28. Les quantités dont la forme générale est y/C senomment quantités radicales lorsqu’on les considèredans toute leur généralité. 11 se présente un cas remar-quable dans cette construction des nombres , c’est celuioù il n’existe atitun nombre entier A capable de don-ner l’égalité.
B
y/C = A.
Par exemple, la racine carrée de 5 est plus grandeque 2, puisque 2* = 4; et cependant elle est plus pe-tite que 3 , puisque 3 ’ = g ; la valeur du nombre \/5est donc entre 2 et 3 . Or, il n existe aucun nombrefractionnaire qui puisse répondre à cette valeur; car,
s’il pouvait s’en trouver un, en le désignant par |, onaurait = 5 ; mais ~ étant une fraction, la division
de 1 par b n’est pas possible; et conséquemmèüt, nonplus celle de a X a par b X b ( Voy. Théorie des nom-a*
bres) , ne peut donc être un nombre entier; et l’éga-
d 2
lité — = 5 ne peut être admise. Ainsi, |/5 n’est ni un
nombre entier ni un nombre fractionnaire, et fait con-séquemment partie d’une nouvelle espèce de nombres.
Ces nombres nouveaux se nomment nombres irrà-lionnels , parce que leurs rapports avec l’unité ne peu-vent être assignés exactement. V:y. Nombres irration-nels.
29 . Le produit de deux nombres irrationnels dumême degré, ou eu général de deux quantités radicales
m m m _
y/4, ei y/B peut s’exprimer par y/AB.
m. m
En effet, soient y/A = x et y/B =y, on aura aussiA—xm et B = y m , et par suite AB = x m ym- ma i s ( 2I )xm.ym — (x.y) m , ainsi AB = (xy)” 1 . Prenant la racinem , cette dernière égalité devient
m _ m _ m m
y/AB = xy, ou y/AB = y/A x v B»
On aurait aussi
m m m m m
y/AX V/B X y/C X V D - etc. = V(4.B.C.D. etc.).
3 0. On peut toujours ramener au même degré, sanschanger leurs valeurs, les quantités radicales de degrés
m n
différens. Par exemple, y/A et y/B étant la môme
I I
chose que A m , B” (27), en réduisant les deux fractions11
—, -, au meme dénominateur (i 5 ), elles deviennentn ni
, ~ , et les quantités proposées sont identique-
n m _
— — mn mn.
ment les memes que A mn , B mu , ouquey/A n ,
Donc,
w n y wft mn mn _
y/A X y/B = y/ 4 " X y/B™ = y/A"B"«.
3 1. On a, par les mêmes raisons,
m A P /„ mp / mp m P/ _
y/A" x v = y/A»/’ x y/Bm? — y/A«J 6 .Bm< 7 .
Si dans cette expression on suppose A=B, elle de-vient ( a)
m p mp __
y/A" X y/A'? = \/A n P+ m <l.
m —P — mp —. tlp 4 -mq
Mais y/A" = A”, y/A? — A p, y/A»P+m? _ A~W P ~.
Or, la fraction ~ P étant évidemment là somme
des deux fractions ~, ?, l’égalité (a) est la même