AL

AL

C 6 t

a m.

UL.y—i.

M étant une quantité réelle quelconque.

48. Nous nous sommes élevés successivement de lagénération primitive des nombres A-f-B= C aux gé-nérations A X 8 = C et A B = C ; nous avons examinéles diverses espèces de nombres engendrés par ces troismodes différens de construction, et déterminé leur na-ture; il nous reste à prouver que le mode A B = C estle dernier mode élémentaire possible de construction,et, conséquemment, que ce qui précède renferme tousles titerriens de la science des nombres. Pour cet effet,reprenons la marche qui nous a conduits ( 6 ) de A +B = CàAXH = Cetde cette dernière ( 19 ) à A B = C.Formons donc une suite de nombres

aà = c , c<< = e, ef = g , gh = i, etc., etc.

En substituant la valeur de c dans celle de e, nousavons

( a b )d = e ou ( 26 ) a!>à — e.

Substituant ensuite cette valeur de e dans celle de g,elle devient

(aW/ = g ou abdf — g.

Continuant donc de la même manière de proche enproche, eu désignant par m la dernière puissance, nousaurons

abdfk... etc. — m f

qui, lorsque toutes les quantités b, d,f, h, k, etc.,sont égales, se réduit à

a nl > = m

en désignant le nombre de ces quantités par n.

Or, cette expression ne diffère en aucune manière deA B = C. Il est donc impossible de trouver un mode degénération élémentaire qui ne soit pas compris sousl’une des trois formes déjà trouvées; et ces trois formesrenferment en effet tous les éléniens possibles de lascience des nombres considérée dans sa plus grande gé-néralité.

Euler est le premier qui se soit aperçu de la liaisonqui existe entre les divers modes des générations élé-mentaires , et qui ait fait remarquer que chacun d’euxdonne naissance à de nouvelles espèces de nombres. Lesmathématiciens qui lui ont succède , et particulière-ment les auteurs d’ouvrages élémentaires semblent nepoint avoir saisi tout ce qu’il y a d’important dans cetteconsidération , qui seule permet de coordonner les di-verses parties de l’algèbre, et de l’amener à cette unitésystématique sans laquelle une science n’est qu’une col-lection de faits ou de lois sans liaison. Ces auteurs sesont contentés, pour la plupart, de présenter l’algèbrecomme uu moyen particulier de résoudre des problè-

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mes, confondant ainsi ce qui a pu conduire à découvrirla science avec la science elle-même ; et ils sont partisde questions particulières pour arriver à des équationsdont la résolution généralisée forme , suivant eux, labase de la science des nombres. Cette marche est évi-demment vicieuse : les nombres constituent un ordre deréalités dont les lois sont nécessairement indépendantesde toute application numérique ou géométrique ; et,comme tels, leur génération doit précéder nécessaire-ment leur comparaison , de laquelle dépendent les ■équations.

Mais cette génération présente deux points de vuedistincts : le premier est celui dans lequel on ne consi-dère que les modes élémentaires et primitifs, pris isole-ment, de la construction des nombres; le second estcelui dans lequel on considère la réunion de ces modesprimitifs et les constructions dérivées qui naissent decette réunion. Le premier point de vue constitue la gé-nération élémentaire que nous venons d’exposer; le se-cond, la génération systématique qui sera développéesuccessivement. La comparaison des nombres nous pré-sente également deux parties, dont la première, la com-paraison élémentaire , nous donne les proportions etles progressions , et dont la seconde, la comparaisonsystématique , nous donne les e'quations. Voy. ces motset Algoritiimie.

ALGÉBRIQUE. Ce qui appartient à l’algèbre. Ondit caractères algébriques, quantités algébriques, cour-bes algébriques, etc.

On partageait jadis les lignes courbes en courbesgéométriques, algébriques, transcendantes et mécani-ques, et le terme algébrique se rapportait à celles de ceslignes dont la nature peut être exprimée par une équa-tion élémentaire, c’est-à-dire par une équation qui nerenferme aucune quantité transcendante. Mais aujour-d’hui où la génération de toutes les quantités fait partiede l’algèbre, ces distinctions n’ont plus aucun fonde-ment. Toutes les équations sont essentiellement algébri-ques , et le rapport des abscisses aux ordonnées d’unecourbe quelconque étant toujours représenté par uneéquation immanente ou transcendante, la classifica-tion de ces lignes doit suivre celle des équations.( Voyez Courbes et Équations. )

AL-GEDY ( Astr. ). Nom de l’étoile du Capricornemarquée y dans les catalogues, et qui signifie le Che-vreau. Les Arabes donnaient aussi ce nom à la constel-lation entière, ainsi qu’à l’étoile polaire.

ALGENEB ou ALGENIB, et plus correctement al-genb Fersaous ( le côté de Perséc ). ( Astr. ). Quelquesobservateurs ont donné ce nom à la ceinture de Perséc;mais il a été mal à propos confondu par plusieurs auteurs avec le nom de al-genah {l'aile}, donné à uneétoile de la seconde grandeur, située dans la constella»