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Substituant dans cette valeur de CD celle de AC donnéeci-dessus, on obtiendra

AB X sin ABC X s ' n CAD~ sin ACB X R ’

expression qu’on peut facilement calculer par les loga-rithmes , car elle devient alors

log CP ;=s log AB -J- log sia ABC + log sin CAD — log sia ACB — log R.

En ajoutant à la valeur de CD la hauteur de l’instru-ment, on aura la hauteur totale CE.

Prob. VI. Mesurer la hau-teur d’un objet inaccessibleAB, de trois stations C, D,

E , prises sur une mêmeligne droite CE.

On mesurera les trois an-gles d’élévation AEB, ADB Eet ACB, ainsi que les dis-tances DC et DE j et la hau-teur AB sera donnée par laformule

y/( S cot ia -f- d cot ib — D cot 2 c) ’

dans laquelle on a D=EC, <f = CD,d = ED; l’angleACB = a, l’angle ADB = b, et l’angle AEB =e c.Voy. Trigonométrie.

Lorsqu’on se trouve à une grande distance des obj'etsqu’on mesure, les calculs ont besoin de quelques petitescorrections (voyez Correction). Dans la pratique , onne considère comme erreur que celle qui dépend de ladifférence du niveau vrai avec le niveau apparent 1 voyezNivellement); mais cette erreur est très-peu de chosecomparativement à celles qui peuvent résulter de la me-sure des angles lorsque le graphomètre est trop petit oumal divisé. On ne peut compter sur les opérations qu’ense servant de bons instrumens , et encore, lorsqu’il s’a-git de grandes hauteurs l’emploi du baromètre est sou-vent préférable.

Mesure des hauteurs par le baromètre. L’applicationdu baromètre à la mesure des hauteurs s’est présentée hl’esprit des mathématiciens bientôt après la fameuse ex-périence du Puy-de-Dôme , faite pour confirmer la dé-couverte de Toricelli ; cependant, la première idée pré-cise de cette méthode est due à “Halley (Voyez Trans-actions philosophiques , n° 181). Depuis lors elle estdevenue l’objet d’un grand nombre de travaux dontnous donnerons les résultats. Nous allons commencerpar exposer les principes sur lesquels elle est fondée.

Si nous concevons l’atmosphère partagée en couchesd’égales hauteurs, les densités de ces couches formerontune progression géométrique décroissante (voyez Air );de sorte qu’en désignant par 1 la hauteur de la pre-

mière couche, par 2 celle de la seconde, par 3 cd le dela troisième, etc., par 1 la densité à la hauteur o, ou la

densité à la surface de la terre, par ^la densité à h hau-teur 1, par ila densité à la hauteur a, etc., etc. Nousaurons les deux suites

Hauteurs. o, i, 2 , 3, 4, 5, 6 , 7 , 8 , etc.Pens. cor. 1 , r/-‘, rf- 2 , rf-s, d*, </-«, rf-e, d <f- 8 ,etc.

dont la première forme une progression arithmétique,et la seconde une progression géométrique. On peutdonc considérer les termes de la première comme leslogarithmes des ternies correspondans de la seconde,dans un système particulier de logarithmes (l r oy. Lo-garithmes). Nous désignerons les logarithmes de cesystème par la caractéristique L.

Si donc II et H’ sont deux hauteurs quelconques, et

— et — les densités atmosphériques correspondantes à

ces hauteurs, on aura H = L—, H' = L-, etpai con-

m n r

séquent

II — H' = L — — L- = L —.

m n m

Mais les hauteurs du mercure dans le baromètre étantproportionnelles aux poids des colonnes d’air cpii pè-sent sur lui; et ces poids étant eux-mémes proportion-nels aux densités des couches dans lesquelles se trouvele baromètre, les hauteurs du baromètre sont doncentre elles comme les densités. Ainsi, désignant par h

la hauteur du baromètre dans la densité - , et nar h'

m r

cette hauteur dans la densité -, nous aurons

n

h' _ n

h m ’

et, conséquemment,

H — H' = L y = W — L h.h

La différence de niveau des hauteurs H, H', estdonc égale à la différence des logarithmes des hauteursdu mercure; et il suffit, pour mesurer une hanteurquelconque, de prendre les hauteurs du baromèlie hsa base et à son sommet, et de retrancher le logarithmede la seconde hauteur observée de celui de la pre-mière.

Mais ces logarithmes ne sont pas ceux qu’on Uouvedans les tables; et il faut les y .ramener pour ren-dre les calculs praticables. Or, pour passer d’un sys-tème quelconque de logarithme à celui des tables, ilfaut déterminer son module (Voy. Module), et multi-plier chaque logarithme par ce module.; désignwu-le

donc par nous aurons, en général,