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7. Corollaire. L’égalité des angles correspondansentraîne nécessairement celle des angles alternes inter-nes , ainsi que celle des angles alternes externes.

En effet, les angles verticaux FGD, CGH étantégaux ( 3 ), on a en même temps les deux égalités :

FGD = CGH et AFG = CGILD’où l’on conclut

FGD = AFG,

et ainsi de même pour les autres angles alternes in-ternes.

Quant aux angles alternes externes, on a aussi lesdeux égalités :

EFB = FGD et FGD = CGH,desquelles on tire

EFB = CGH;

c’est-à-dire l’égalité des deux angles alternes externesEFB et CGH : raisonnement qui s’applique aussi auxautres angles alternes externes.

8. Théorème. La somme des trois angles d'un trian-gle quelconque ABC est équivalente à deux anglesdroits.

Prolongeons la base AC jusqu’en D ; et, par le pointC, menons la droite CM parallèle au côté AB. Nous au-rons autour du point C les trois angles ACB, ACM,MCD , dont la somme est égale à deux angles droits ( 4 ),égalité que nous exprimerons par

ACB ACM -|- MCD = a droits.

Mais les angles ABC et MCD sont correspondans parrapport à la transversale BD, et les angles ACM et BACsont alternes internes par rapport à la transversale BD;on a donc (7)

BAC = ACM et ABC = MCD.

Substituant BAC et ABC àla place de ACM et de MCDdans la première égalité, elledeviendra

ACB -f- ABC -j- BAC = a droits.

Donc la somme des trois angles du triangle ABC estégale à deux angles droits.

9. Corollaire. L’angle extérieur KCD, formé par lecôté AC d’un triangle , et le prolongement du côté ad-jacent BC , est équivalent it la somme des deux anglesintérieurs opposés CAB, ABC.

Car CAB = ACM , ABC = MCD ; donc

CAB + ABC = ACM + MCD = A CD.

10. Corollaire. Un triangle ne peut avoir qu’un an-gle droit, et, à plus forte raison qu’un angle obtus.

11. Corollaire. Dans un triangle rectangle , la

AN

somme des deux angles aigus est égale à un angledroit.

13. Théorème. Dans un meme cercle ou dans descercles égaux , les angles égaux qui ont leurs sommetsau centre interceptent des arcs égaux sur la circonfé-rence.

Soient les deux cercles égaux B et b, et les angleségaux ABC, abc , qui ont leurs sommets aux centres deces cercles. Les arcs AC et ac interceptés par les côtésde ces angles sont égaux.

Car, si l’on suppose le cercle b transporté sur le cer-cle B, de manière que les centres coïncident, et que lerayon ab tombe sur le rayon AB, ces deux cercles, étantégaux, coïncideront parfaitement dans toutes leurs par-ties ; mais alors, comme l’angle abc est égal à l’angleABC, le côté bc tombera sur le côté BC; et comme cescôtés sont des rayons égaux, le point c se trouvera surle point C; et, conséquemment, les arcs ac et AC co-ïncideront parfaitement. Ces arcs sont donc égaux.

Réciproquement, les angles qui ont leurs sommets aucentre, et qui interceptent des arcs égaux sur la circon-férence , sont égaux.

Soient les deux arcs égaux AC, ac ; les angles ABC,abc, dont les côtés interceptent ces arcs, sont égaux;car, s’ils ne l’étaient pas, on pourrait toujours construireun angle abd plus grand ou plus petit que abc , et quiserait égal à ABC; mais, d’après la proposition directeles arcs AC et ad seraient égaux. Or, ou a supposé AC= ac : on aurait donc aussi ac = ad, ce qui est absurde.Donc, puisqu’il ne peut y avoir un angle plus grand ouplus petit que abc, qui soit égal à ABC, ces deux an-gles sont nécessairement égaux.

i 3 . Théorème. Les angles qui ont leurs sommets aucentre d'un même cercle ou de cercles égaux sont entreeux comme les arcs interceptés par leurs côtés.

Soient les deux angles MBN, mbn, qui ont leurssommets aux centres des deux cercles égaux B et b, etdont les côtés interceptent les arcs MN et mn : on a laproportion

MBN : mbn :: MN : mn.

Car les arcs MN et mn étant mesurés à l’aide d'un arcquelconque Mi, pris pour unité de mesure , nous pou-vons supposer que le premier contient m fois la mesureMi , et que le second contient n fois cette même me