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sure, ou que le rapport de ces deux arcs soit le mêmeque celui des nombres m, re; c’est-à-dire qu’on ait laproportion

MN : mn :: m: n.

Or, les nombres m et n peuvent être rationnels ouirrationnels ; ou, ce qui est la même chose, les deuxarcs MN et mn peuvent être commensurables ou incom-mensurables. Dans le premier cas , divisant l’arc MNen m parties égales, Mi, 12, 23 , 34 , 45 , etc., l’arc mncontiendra n de ces parties mi , 12, 23 , 34 , 45 , etc. Sipar les points de division on mène les droites Bi , B2 ,B 3 , B 4 , etc. , b\,bi, b 3 , £4, etc., l’angle MBN serapartagé en m angles égaux (12), et l’angle mbn serapartagé en n angles égaux; le rapport de ces deuxangles sera donc celui de m : n , ou le même que le rap-port des arcs MN et mn. On a donc effectivementMBN : mbn : : MN : mn.

Si les deux arcs MN et mn étaient incommensurables,c’est-à-dire s’il n’existait aucun arc Mi, quelque petitqu’on puisse le supposer, qui fût capable d’être con-tenu un nombre exact de fois dans MN et dans mn , lerapport de ces arcs serait néanmoins encore le même

que celui des angles MBN et mbn ; car le rapport

serait dans ce cas égal à une quantité irrationnelle quenous supposerons d’abord égale à + 3 , pour faire mieuxsaisir l’esprit de la démonstration : on aurait donc

MN : mn :: I : +3 .

\/3 est égal à la fraction 1,732050817, etc., la suite deschiffres décimaux étant infinie.

Or, on pourrait prendre 1, ou 1,7, ou 1,73, ou 1,732,etc., pour valeurs approchées de \/ 3 ; et il est évidentque plus on prendrait de décimales et plus on appro-cherait de la véritable valeur. Prenant donc 1,7 pour

MN

première approximation, le rapport —- sera a peu

près — ou — ; et, divisant MN en 10 parties égales,1 >7 >7

l’arc mn contiendra 17 de ces parties, plus un reste quel-conque on; alors, supposons menée la droite bo , nousaurons, d’après ce qui précède,

MBN : mbo :: MN : mo.

Prenons actuellement 1,73 pour valeur approchée de

MIN , 1 100 ,.

y 3 , le rapport -- sera a peu près —y, ou-^g; di-visant l’arc MN en 100 parties, l’arc mn contiendra173 de ces parties, plus un reste o'n évidemment pluspetit que on. Supposons encore menée la droite bo ',nous aurons aussi

MBN: mbo' :: MN : mo'.

En prenant 1,732 pour valeur approchée de \/3 ,nous tomberions de même sur un arc o"m qui donne-rait

MBN : mbo" :: MN : mo".et ainsi de suite.

On voit aisément que les arcs mo , mo', mo ", etc.,augmentent successivement, et different de moins enmoins de l’arc proposé mn , et qu’en prenant pour va-leurs approchées de \/3 les quantités 1,7; 1,73 ; 1,732 ;etc., on est tombé sur des angles mbo, mbo', mbo", etc.,dont les rapports avec l’angle MBN sont les mêmes queceux de leurs arcs respectifs mo , mo', mo", etc., avecl’arc MN. Il est évident qu’en prenant un plus grandnombre de décimales pour la valeur de \/3 on trouve-rait toujours des angles qui auraient la même propriété.Donc cela aura lieu pour un nombre quelconque dechiffres delà suite 1,7320, et, par conséquent, pour latotalité de ces chiffres ou pour la quantité + 3 , qu’ilsreprésentent. Ainsi, on a dans tous les cas

MBN : mbn :: MN : mn.

Pour généraliser cette démonstration, fondée entiè-rement sur la nature des quantités incommensurablesou irrationnelles {Voy. ces mots), il suffit de remarquer

, , MN ,,

que lorsque le rapport —- est incommensurable, c est

qu’il est égal à une quantité dont la forme générale estm

\/h-, et dont le développement, composé d’un nombreinfini de termes, est de la forme

B + C + D + E + F + G + etc.

Ainsi, les rapports

1 : B,

1 : B + C,

1 : B + C + D,etc., etc.,

MN

approchent de plus en plus du véritable rapport —- .

Or, en procédant comme nous venons de le faire, onvoit qu’à chaque somme B, B + C , B + C + D, etc.,répond un angle dont le rapport avec l’angle MBNest égal à celui des arcs interceptés; il en est nécessai-rement de même pour la somme d’un nombre quelcon-que de termes de la série B + C +D+E+F+G+ etc.,et, conséquemment, pour la somme de tous les termes