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AN

AN

m

ou pour le nombre \/A, que celte somme représente.

i 4 - Théorème. £/« angle quelconque étant donné, sil’on suppose décrit un cercle qui ait son centre au som-met de cet angle , tarc intercepté par ses côtés pourralui servir de mesure.

Soit l’angle ABC, dont le sommet est placé au centreB d’un cercle. Cet angleaura pour mesure l’arcAC.

Un angle ne peut être me-suré que par un autre angle,pris pour unité de mesure;car, on ne peut comparerque des quantités de mêmenature; mais si MBN est cette unité, on a la proportion

ABC : MBN :: AC : MN.

Soit l’angle BAC formé par la tangente AC et parla corde AB, cet anglea pour mesure la moi-tié de l’arc AB.

Car, si l’on mène lesrayons AD et DB, l’an-gleDACseradroit(U oy.

Cercle ). Mais, dans le 'ytriangle isocèle ADB,

les angles à la base sont -(—---p

égaux ( Voy . Triahgle isocèle); donc l’angle, ausommet ADB , est égal à deux droits moins deux foisl’angle DAB. Or, l’angle proposé BAC est égal à undroit moins l’angle DAB ; donc cet angle est la moiti<de ADB. Ainsi, la mesure de l’angle ADB étant l’anAB(i4), la mesure de l’angle BAC sera la moitié decet arc.

Or, si l’on prend MN pour mesure des arcs, le nom-

ÀC

bre qui exprimera la mesure de AC sera ou, ce qui

est la même chose, Le rapport des deux arcs

’ MBN MN

exprime donc la mesure de l’angle ABC au moyen de

l’angle MBN.

1 5 . Scholie . Dans l’ancien système métrique, suiviencore aujourd’hui dans toute l’Europe, on prend pourunité de mesure l’angle dont les côtés interceptent la36o e partie de la circonférence décrite de son sommet;et cette partie se nomme degré. Ainsi, lorsqu’on dit, parexemple, qu’un angle a 3o degrés, c’est que cet angle

3o

intercepterait, entre ses côtés, de la circonférence.

Le degré se subdivise en 60 parties, qu’on nomme mi-nutes ; la minute en 60 parties, qu’on nomme secondes ;la seconde en 60 tierces , etc., etc. L’angle droit estdans ce système un angle de 90 degrés.

Dans le système métrique français , l’angle droit estpris pour unité de mesure : on le divise eu 100 degiés ,le degré en 100 minutes ; la minute en 100 secondes ,etc., etc. La circonférence entière est alors partagée en4oo degrés.

La première division se nomme division sexagési-male , et la seconde division centésimale. La plupart desj instrumens en usage étant divisés en 36o degrés , nousjnous servirons habituellement, dans cet ouvrage, de la! division sexagésimale, à moins que nous n’avertissionsexpressément du contraire pour quelques cas particu-liers. Il est, du reste , extrêmement facile de passer de1 une des divisions a 1 autre, leur rapport étant celui (le36 o : 400.

16. Theoreme. L’angle formé par une tangente etpar une corde a pour mesure la moitié de l’arc sous-lendu par la corde.

17. Théorème. Un angle qui a son sommet a la cir-conférence d’un cercle a pour mesure la moitié de l’arcintercepté pür ses côtés.

Soit un tel angle ACB : si l’on mène la tangente CD ,on aura les deux angles DCA et DCB , dont les mesuresrespectives seront les moitiés des arcs CA et CAB ; maisl’angle proposé est la différence de ces deux angles,donc sa mesure sera la différence de leurs mesures oula moitié de l’arc AB compris entre ses côtés.

18. Corollaire I. Tous les angles qui ont leurs som-mets à la circonférence d’unmême cercle, et dont les cô-tés passent par les extrémitésd’une même corde, sontégaux entre eux, puisqu’ilsont tous pour mesure lamoitié du même arc.

19. Corollaire II Unangle qui a son sommet à lacirconférence d’un cercle, et dont les côtés passent parles extrémités du diamètre, est droit, puisqu’il a pourmesure le quart de la circonférence.

20. Théorème. Un angle qui à son sommet dans l'in-térieur d’un cercle a pour mesure la moitié de la sommedes arcs interceptés par ses côtés et par le prolongementde ces mêmes côtés.

Soit l’angle APB : si l’on prolonge ses côtés jusqu’àce qu’ils rencontrent la circonférence en C et en E, lamesure de cet angle sera j- ( AB CE) ; car, si l’onmène la corde AC, l’angle APB, extérieur par rapportau triangle APC, sera égal à la somme des deux anglesintérieurs opposés CAE, ACB (9). Sa mesure sera donc

egaie

, AB2

ix la cumins

+ - 2 -=4(AB + CE).