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rations toutes politiques, et il fut difficile aux astro-nomes qui furent chargés de ce travail, de mettre d’ac-cord leurs exigences avec celles de la science. Le calen-drier républicain n’a été en usage que durant environdouze ans; mais il est nécessaire de connaître sa concor-dance avec le calendrier grégorien pour établir la chro-nologie, dont l’ordre a été interverti par son applica-tion rigoureuse dans tous les actes civils et politiquesde cette époque. Cette année commençait le jour del’équinoxe d’automne : les noms de ses mois étaientvendémiaire, brumaire , frimaire, nivôse, pluviôse,ventôse, germinal, floréal, prairial, messidor, thermi-dor et fructidor. Ces dénominations beaucoup trop si-gnificatives, puisqu’elles établissaient un état particulierde la saison pour chaque mois, ne pouvaient évidem-ment devenir d’un usage général, les saisons n’arrivantpoint à la même époque pour tous les peuples dumonde. L’ère républicaine date du 22 septembre 1792,lui était ainsi le I er vendémiaire de l’an i er ; et c’est enPartant de cette époque qu’on peut établir la concor-dance de ce calendrier avec le calendrier grégorien.^oyez Calendrier , Ère et Période.

ANNUEL ( Astr .). Ce qui est relatif à Vannée, oudont la durée est d’une année , comme mouvement an-nuel de la terre, argument de longitude, épacle, équa-tion, etc. Voy. Terre , Argument, Ëpacte, etc.

ANNUITÉ ( Arith .). C’est une rente qui n’est payéeque pendant un certain nombre d’années, à des époquesdéterminées, et dont la quotité est telle que le débiteurse trouve, à l’expiration de ce temps, avoir acquittéson emprunt, avec les intérêts, en donnant annuellementune même somme.

Pour déterminer les relations qui existent entre la

Mais si, au lieu de s’acquitter à la fin de la premièreannée, l’emprunteur renvoyait le paiement à la fin dela seconde, il devrait alors rembourser non-seulementla somme A', qu’il devait au commencement de la se-conde année, mais encore les intérêts de cette sommepour un an , qui sont A'r; il aurait donc a payer

A' + A'r=A'(i+r).

Substituant à la place de A', sa valeur A (1 -f- r) , on apour la valeur du paiement l’expressionA(i+r)\

En poursuivant de la même manière, on voit aisé-ment que si l’emprunt durait trois ans, la somme àrembourser à la fin de la troisième année seraitA(i-{-r) 3 ,

et qu’en général, si l’emprunteur n’effectue son paie-ment qu’après m années, cette somme seraitA (1 -f-r)" •

Telle est donc la valeur de la somme A, empruntéeactuellement, rapportée à l’expiration des m années del’emprunt, en admettant qu’il ne soit fait aucun rem-boursement dans l’intervalle.

Mais, dans le cas des annuités, l’emprunteur paieau prêteur une somme a à la fin de chaque année suc-cessive. Il faut donc également évaluer les valeurs deces divers paiemens en les rapportant tous à la fin de ladernière année.

Or, le premier paiement a, étant fait m —1 ansavant l’expiration de l’emprunt, vaut entre les mainsdu prêteur qui le reçoit

a(i -f- r ) m —'.

Le second paiement étant fait m — 2 ans, avant la

somme à rembourser et la quotité de l’annuité, il fautrapporter à une même époque la valeur de cette sommeainsi que celle des paiemens successifs. Soit donc A unesomme empruntée actuellement, et qu’il s’agit de rem-bourser en m paiemens annuels égaux , que nous dési-gnerons par a. Si l’emprunteur devait simplement rem-bourser la somme A avec ses intérêts au bout d’une an-ü ée, il devrait payer à cette époque.

A -j- A r.

r étant ce qu’on nomme le taux de l’intérêt ou le rap-port qu’il y a entre une somme de 100 francs, prise pourterme de comparaison, et l’intérêt de celte somme.Ainsi, r est égal à “, si l’intérêt est à 5 pour 100 ; il«st égal à ~ si l’intérêt est à G pour 100 et ainsi de suite.Il est évident que pour trouver l’intérêt d’une sommeQuelconque A, il suffit de la multiplier par le taux.

Désignons donc par A’ ce que l’emprunteur doit'payer en capital et en intérêts à la fin de l’année, etuous aurons l’égalité

A’ — A-|- Ar~ A (1 -J-r).

même époque, vaut

a(i +r)™—',

et ainsi de suite jusqu’au dernier; lequel, rapporté aumoment de l’échéance, vaut seulement a.

Mais il faut nécessairement que toutes les sommes re-çues par le prêteur, à l’expiration du prêt, soient équi-valentes à la valeur du prêt, c’est-à-dire àA (1 -\-r) m .

On a donc l’égalité

A (1 + r) m = a (1 + r) m ~ l + a (1 -J-. r) m —' 1 -f--(- a (1 -j-r)'”— 3 -f- etc.... a (1 -f- r) 4- a.

Le second membre de cette égalité forme une pro-gression géométrique décroissante dont la somme est{Voy. Prog. géom. )

«[(1 + rf — 1]

r

Elle se réduit donc à (a)

. . . . a f( 1 4 - r) m — il

1 ' r

Cette dernière égalité renferme la solution de toutes