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ot 5 AN

les questions qu’on peut se proposer sur les annuités.On en tire d’abord les deux formules

(1) .A =

( 2 ) . a =

a (1 + r ) m — 17- • (1 +r)“

Ar(i -f- r) m

dont la première sert à déterminer la valeur d’unesomme remboursée par une annuité dont on connaît laquotité, et dont la seconde sert à déterminer la quotitéde l’annuité, quand on connaît la somme à rembourser.

Nous allons appliquer ces formules à quelques exem-ples.

I. Exemple. On demande quelle somme il faut payerannuellement pour rembourser en 10 années un em-prunt de 4ooo francs, avec ses intérêts à 6 pour 100.Nous avons, dans ce cas : A = 4 000 > ni = 10, et r—

——. Substituant ces valeurs dans la formule (2), on ob-100

tient

00 J

a — ■

io6V°

too J

on

, ,6 , C , 6 y . /'ioô'v

4° o ° x 7o ~x _ 240

fi+—-T 0 - 1

v iooy

Évaluant , par le moyen des logaritlimes

( io6\ 10

- J = 1,790849, et par suite

2 4°X i)79 o8 49

0 >79°ü49

Effectuant le reste des calculs par ies logarithmes, oudirectement, on trouve définitivement a = 543 f. 47 c.Telle est donc la somme qu’il faut payer annuellementpendant 10 ans.

II. Exemple. On demande quelle somme il faut prê-ter pour obtenir une annuité de 5oo fr. pendant 12 ans,l’intérêt étant à 4 pour 100 .

t • 4 1

Ici nous avons : a = 5oo , m = 1 2, et r — -== —.

100 23

La formule (1) donne

5oo [('+s)'’-']

A =

0+i)"s

Calculant la valeur de ^1 ou de ’ on

trouve égale à 1.601 o3, et l’on a

_ 25 X 5oo X 0,60io3 „ „„

a--î^6oïa3-= 46^ f-53 c.

Ainsi, l’intérêt étant à 4 pour 100, il faudrait prêter4692 f. 53 c. pour recevoir pendant 10 ans une annuitéde 5oo francs.

Les calculs qu’exigent les questions relatives aux an-nuités étant embarrassans pour les personnes auxquellesl’usage des logarithmes n’est pas familier, nous avonscru devoir joindre ici une table qui rend leur emploiinutile. Cette table contient les sommes qu’il faut prê-ter pour recevoir une annuité de un franc pendant unnombre d’années depuis i jusqu’à 60, et pour des inté-rêts depuis 3 pour 100 jusqu’à 6 pour 100. Il suffit d’uneseule multiplication ou d’une seule division pour réali-ser les opérations qui sont indiquées dans les formules(1) et (2). Par exemple, pour trouver la somme qu’ilfaut prêter pour obtenir une anuuité de 5oo francs ,pendant 12 ar.s, à 4 pour 100 d’intérêt, il ne faut quechercher le nombre qui, dans la colonne 4 pour 100,répoud au nombre 12 de la colonne des années, et lemultiplier par 5oo. Ce nombre est 9,3850^4 » et sonproduit par 5oo, est 4692 fi'- 53 c. ; comme nous l’avonstrouvé dans le second exemple. S’il s’agissait, au con-traire , de déterminer quelle est la somme qu’il fau-drait payer annuellement pendant dix ans pour rem-bourser un emprunt de 4000 à Ü pour 100, on cherche-rait , dans la table, le nombre de la colonne 6 pour iooqui correspond au nombre 10 delà Jolonnc des années,et l’on diviserait la somme proposée par ce nombre. Ilest ici égal à 7,360087, et le quotient est 543 fr. 47 c.C’est le même résultat que celui du premier exemple.

Cette table est construite à l’aide de la formule (1),en y faisant successivement, pour un même taux d’in-térêt, m= 1, m — 2 , m — 3, etc., a étant toujourségal à 1.

On peut encore se proposer sur les annuités deuxproblèmes différons des précédons, savoir : i° Détermi-ner le nombre d’années nécessaires pour éteindre unedette, lorsque cette dette, l’intérêt et l’annuité sontconnus; et 2 0 , déterminer le taux de l’intérêt, lorsque lenombre d’années , l’annuité et la dette sont connus.

Dans le premier cas , dégageant (i -}- r) m de la formule fondamentale ( a ), on obtient

(l+/r = _JL

expression dont on ne peut tirer la valeur de m qu enayant recours aux logarithmes. Frcnaut doue les loga-rithmes des deux membres de cette égalité, il vientmlog (t -f- r) — log a — log (a— A r).

D’où

log a — log (a — A r)

m ~ ïocT.+r) •

Nous allons montrer l’usage de cette dernière formule en l’appliquant à un exemple.

III. Exemple. On demande le nombre d’années pen-dant lequel il faudra payer une anuuité de 5oo fr. pour