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AN

éteindre une dette de 4692 fr. 53 c., l’intérêt étant à4 pour 100.

Nous avons a = 5oo, A=46 q2,53 , r = —- — ,

1 26

el, + r =3-

On trouve, en évaluant, a — At*= 312,2988. Cher-chant donc, dans les tables, les logarithmes de ces nom-bres , on a

2,698970 0 — 2,4945703

i, 4 i 49733 — 1,3979400

Le tableau peut aussi servir pour résoudre les ques-tions de ce genre avec beaucoup de facilité. En effet,divisant 4692,53 par 5oo, on trouve le nombre 9,385o6,qui est la somme correspondante à un franc d’an-nuité : les autres conditions du problème étant lesmêmes. Cherchant donc dans la colonne 4 pour 100le nombre qui approche le plus de g,385o6, on trouve9,385074, qu’ou peut considérer comme lui étant en-tièrement égal : le nombre 12 , placé en face, dans lacolonne des années, est donc le nombre d’annéescherché.

Le second cas qui nous reste à examiner est un desplus compliqués de la science des nombres ; car il con-duit à une équation d’un degré infini dont on ne peutexprimer l’inconnue que par une série également infi-nie. Les calculs sont alors d’autant plus pénibles que lasérie est moins convergente.

Reprenons la formule (a), et donnous-lui la forme

a

= ![,-(, +r)-].

Développons ensuite le binôme ( 1 -f- r)— m ( Voy. Bi-nôme), et faisons

2 \am —À]_

am[ni- J-i)

nous aurons

ment les quatre premiers termes, et de se servir ensuitede la règle de Jausse position; car, à l’aide de cette rè-gle , il est facile de pousser l’approximation aussi loinqu’on peut le désirer. Voy. Fausse position.

Pour donner une application de la formule (b ), nousnous servirons des mêmes données que dans l’exempleprécédent; c’est-à-dire, nous supposerons qu’étant con-venu de rembourser 4692 fr. 53 c. par 12 annuités de5oo fr., on ne connaisse pas le taux de l’intérêt, et qu’ils’agisse de le déterminer.

Nous aurons alors

2 \am — A] 2[5ooX 12 — 4692,53] 130747

^ am ( m-\- 1) 5oo X >2 X >3 3900000'

Faisant m — 12 dans les coefficiens de ( b ), on trouve

r = ,3o 747 . 4 f 1 3074 *7 V ,

3gooooo ~ 3 ’ V3goooooy

, 469 ( ■ 3o747 V ... ( l3o 747 V ,

18 ’V 39 oooooy 1 35 v3goooooy

etc.

Exécutant les calculs indiqués , on obtient

Premier terme = o,o33524...

Somme des deux premiers = 0,038769...

Somme des trois premiers = 0,039751...

Somme des quatre premiers = o,o3gg48...

En examinant la marche de ces quantités , on voitqu’elles approchent de plus en plus de o,o4, qui est eneffet la véritable valeur de r.

Si nous transformons la série (b) en fraction continue( Voy . Fraction continue), nous trouverons l’expres-sion

r =-

771+2

-T-?

I-

m — 1

q _ r (*» + a) r , + (777 +2) (m + 3) ^ _

3 3.^.

(/n + 2) (IH + 3) (777 + 4) .

— 3.4.5 '-’ + eic....

Enfin, dégageant r de cette série {Voy. Retour dessuites), nous obtiendrons {b)

r = , + Üï+Î > 9> +

+ ( ,w + 2) (17777» 4-44771+ 29, . , etc....

270 ' ‘

Dans le plus grand nombre des cas, celte série estpeu convergente; et, pour obtenir une approximationsuffisante, il est essentiel de calculer dix à douze termes,ce qui devient très-long et très-pénible, par l’extrêmecomplication des coefficiens qui suivent celui du qua-trième terme. Il est alors plus simple de calculer seule-

1 — etc.

Les premiers termes de cette fraction sont très-sim-ples ; et il suffit d’en employer trois pour obtenir undegré d’approximation bien supérieur à celui quedonne la somme des quatre premiers termes de la sé-rie (b). Pour faire usage de cette formule, nous y fe-rons

777 = 12

i30747

3gooooo ’

et nous aurons, consequemment,

777 + 2 i4 7n—1 11

3 3 ’ 12 ~ 12'

Réalisant ensuite les opérations, nous trouverons

Pour la première fraction intégrante. . o,o33524

Pour les deux premières.o,o3974 5

Pour les trois premières. c. n vi<r8