AP

400 aP

Mais, pour faire immédiatement usage de la hauteurli, nous nous servirons de l’angle CDB. Prolongeantdonc AB, nous porterons AB, ou a, deD en P, et CD, ouh, de P en Q. Nous joindrons les points C et Q par unedroite; et, par le point P, nous mènerons PI parallèleà CQ. La quatrième proportionnelle cherchée, ou lecôté du carré sera ID. Nous devons faire observer icique les constructions géométriques sont d’autant plusélégantes qu’on y fait entrer moins de lignes étrangèresaux données de la question.

14. Prob. Partager une droite en moyenne et extrêmeraison-, c’est-à-dire eu deux parties, dont l’une soitmoyenne proportionnelle entre la ligne entière et l’au-tre partie.

Soit a la ligne donnée; désignons par x, la partiemoyenne proportionnelle, alors l’autre partie sera a — x.Or par l’énoncé du problème, on doit avoir

a : x :: x : (a — x).

Cette proportion donne

x 1 = a* ■

■ ax,

équation du second degré dont les deux racines sont{ Voy . Equations )

d , « / . à 1 a « / a ' 1

x =-î+V a +j > x ~-7-y a *+j-

La première de ces valeurs peut seule satisfaire à laquestion; car la seconde, abstraction faite du signe —,est évidemment plus grande que a. Occupons-nous d’a-bord de cette première. Elle est composée de deux par-\ / (i 1

lies dont l’une y/ -f- -j -, exprime (10) l'hypothé-

nuse d’un triangle rectangle qui aurait pour côtés del’angle droit, les lignes a et ^; et dont l’autre, — est

une simple ligne droite égale à la moitié de la propo-sée. Cette dernière étant négative, il faut donc com-mencer par construire \/ , et ensu te en re-

trancher -, pour obtenir x.

Menons donc une ligne AB= «; à l’extrémité B, éle-

vons la perpendiculaire BC = *, et joignons les pointsA et C, nous aurons évidemment

AC=\/«. + i.

Pour retrancher —, de cette ligne, portons — de C en

M , et le reste AM sera la valeur de x. AM est donc lapartie cherchée de AB; et il suffit de la porter sur ABde A en N pour opérer le partage demandé. Cette der-nière condition s’exécute en décrivant du point Acomme centre, avec AM pour rayon , l’arc MN; car ona alors AN = AM.

La construction que nous venons de donner est préci-sément la môme que celle que l’on trouve dans les élé-mens de géométrie.

Il nous reste à examiner ce que signifie la secondevaleur de x ,

Nous pouvons lui donner la forme

. a ’81 + T'

Cette dernière expression indique qu'après avoir con-struit a 1 + — , comme nous l’avons fait, il faut

ajouter ^ ; prolongeons donc AC jusqu’à sa rencontre

en D avec le cercle décrit du point C comme centre,avec CB pour rayon, et nous aurons CD = CB , et parconséquent

AD = CD -f AC :

■\+V‘

' + T=-*-

Mais x étant négatif, on doit le prendre en sens in-verse de ce qu’on aurait fait s’il était positif. Ainsi , aulieu de le porter sur AB , de A dans la direction A 15 ,on le portera dans une direction opposée, de A en Psur le prolongement de AB, et l’on obtiendra de cettemanière une droite PB qui sera le quatrième terme dela proportion

AB: AP:: AP: PB.

Quoique cette solution ne satisfasse pas entièrement àl’énoncé du problème, puisque AB n’est point partagéen deux parties, elle le résout cependant dans toutesses autres circonstances ; car l’une des lignes trouvéesest moyenne proportionnelle entre l’autre ligne et a,et, déplus, la somme de ces deux ligues, en prenant Xnégativement , est égale à a.

Il résulte de cette remarque, et d’autres semblablesqu’on pourra faire dans des questions du même genre,