AM = a} du point D tirons une droite quelconque DBet prenons BD=i ; par les points A, B menons AX, et,par le point-M, MC parallèle à BD. La ligne MC seraégale à x, car cette construction donne

décrivons un arc de cercle qui coupe AX en un point B,AB sera égal à a:, car on a

ÂB’=CB a — ÂC a = a 2 — b 2 , ou AB =\/a 2 —

AD : AM :: BD : MCou c : a :: b : MC.

9. Le lieu x = \/ab , exprime une moyenne propor-tionnelle entre a et bj car celte expression devient

x 2 = ab , d’où a : x :: x : b.

On peut encore le construire de deux manières :

i°. Sur une ligne indéfinie AD, prenons AB = a,BD = b, puis sur AD = æ + ù, pris pour diamètre,décrivons une demi-cir-conférence ACD, et éle-vons la perpendiculaireBC. Cette perpendicu-laire est, par une pro- /priété du cercle, moyenneproportionnelle entre les deux segmens AB et BD du dia-mètre (voy. Cercle). Nous avons donc

AB :BC :: BC : BDou a : BC :: BC : b.

Donc BC = ab , et BC = \/ab = x.

i°. Sur une ligne AD = a , décrivons une demi-cir-conférence; prenons AB = b, et du point B élevons laperpendiculaire BC : tirons ensuite la corde AC , ellesera égale à x. En effet, par une propriété connue ducercle, on a

AB : AC :: AC : ADou a : AC :: AC : b.

Donc

ÂC* =ab, et AC — \/ab = x. x

_\ I

10. Le lieu x=\/a 2 -\-b 2 ,représente l’hypotliénusc d’untriangle rectangle dont les côtésde l’angle droit sont a et b (voy.

Rectangle). Il suffit donc, pourle construire, de faire un angledroit BAC, de prendre AB = a,

AC = b, et de tirer BC; car on a

c y

BC = V/AB 1 AC* = \/a 2 + b 2 = x.

11. Enfin, le lieu ,r = \/a 2 — b 2 représente l’un descôtés de l’angle droit d’un triangle rectangle dont a estl’hypolliénuse et b l’autre côté. On peut le construirede trois manières.

i°. Traçons un angle droit YAX; prenons AC = b;puis, du point C comme centre avec un rayon BC = a;

C ,-

2°. Sur AB=«, commediamètre, décrivons lademi-circonférence ACB,et prenons la corde'A.C = b; menons CB, etnous aurons CB = x; ce Aqui est évident, puisque le triangle ACB est rectangleen C.

3 °. L’expression \/a % — b 2 , peut se mettre sous laforme y/ (a -j- ô) (a — ô); elle représente alors unemoyenne proportionnelle entre a -J- b et a — b. On peutdonc encore la construire par les procédés du numéro9, après avoir préalablement construit les droites a -J- bet a — b.

ia. Toutes les expressions algébriques les plus com-pliquées peuvent se construire au moyen de celles quiprécèdent, comme 011 le verra dans le cours de cet ou-vrage. Pour ne pas nous étendre inutilement ici, nousallons seulement employer ces constructions à la solu-tion de deux questions géométriques, qui rendront plusévidentes leur application et leur utilité.

i3. Problème. Déterminer la valeur du côté d’uncarré inscrit dans un triangle donné.

Soit ABC le triangle donné. Supposons que le carrésoit inscrit, et que c

EG soit son côté.

Abaissons la perpen-diculaire CD, et dé-signons AB par a,

/

V

N.

E/

I \

F

/

\ ^

/

par 11, eL jlvjt /V G D II ]J 1 > Q

par x. Nous aurons GH —FH =EF =EG= ID = ,r,

et par conséquent Cl = CD — ID = h — x. Cela posé,les triangles semblables ABC, CEF donnent la proportion

AB : CD :: EF : CIou a : h : : x : h — x.

on en tire a(h — x) = hx, ou ah — ax-\-hx = x(a-\-h),et, enfin,

ah

X ~~TT-

Cette expression donnera la valeur numérique ducôté du carré inscrit à l’aide de celles de la base et dela hauteur du triangle donné. Pour la construire géo-métriquement , ou pour trouver une droite égale aucôté du carré inscrit dans un triangle, on cherchera unequatrième proportionnelle aux trois lignes a, h et a-^-h,par le procédé du numéro 8.