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Axet A y, ou a et b, sont connus,la position du point Oest fixée.

Cependant, la construction que nous venons de fairepouvant avoir egalement lieu dans chacun des quatreangles XAY, X'AY', XAY, XAY', il faut déplusconnaître celui de ces quatre angles dans lequel doit setrouver le point o, pour que sa situation soit entière-ment déterminée sur le plan indéfini des droites XX',YY'. Cette dernière condition est remplie de la manièresuivante : on considère toutes les distances mesurées surXX', en partant du point A , comme positives , lorsqueleurs directions vont de A vers X, et comme négativeslorsque leurs directions vont de A vers X'; de même onconsidère toutes les distances mesurées sur YY',en partantdu point A , comme positives, lorsqu’elles sont dirigéesde A vers Y , et comme négatives lorsqu’elles sont diri-gées de A vers Y'. De cette manière, les signes desquantités a et b déterminent toujours l’angle dans le-quel le point se trouve. Si ces quantités sont toutes deuxpositives, le point est en o dans l’angle YAX; si a estnégatif et b positif, le point est en o' dan» l’angle X'AY;si a est positif et b négatif, le point est en o'" dansl’angle XAY'; et enfin si a et b sont négatifs, le pointest en o" dans l’angle X'AY'.

Les quantités a et b se nomment toutes deux leseoor-f/onne'esdupointo.Enparticulicr, a se nomme Yabscisse,et b, Y ordonnée. Les deux droites XX', YY' sont les axesdes coordonnées , savoir : XX', Yaxe des abscisses, etYY' Yaxe des ordonnées. Le point d’intersection A senomme Yorigine des coordonnées ou simplement l’ort-gine. On désigne encore, pour abréger, XX'sous le nomd’axe des x, et YY' sous celui d’axe des y, parce que lesabscisses sont généralement exprimées par la lettre x , etles ordonnées par la lettre y.

Les égalités

x — a, y z= b

se nomment les équations du point Ces équations pré-sentent les quatres combinaisons

x — a x = -f- a x = — a x — — a

Y — + b y = ~ b y = + b y = — b

qui caractérisent, ainsi que nous venons de le dire, les

quatre positions différentes o , o', o", o"', que peut

avoir le point qu’elles représentent.

3. Lorsque dans les équations générales du point,x — a > y = b, a c st égal à zéro, l’expression x = oindique que la distance du point à l’axe des_y est nulle;le point est donc alors situé sur cet axe même à unedistance b de 1 origine; lorsqu’au contraire b est égal àzéro, 1 expression y — o indique que la distance dupoint à l’axe des .r est nulle; le point est donc alorssitué sur l’axe de x , à une distance a de l’origine. Enfin,lorsqu’on a, à la fois, x = o et y = o, le point estsitué à l’origine même

4. Si au lieu de rapporter la position d’un pointàdeuxaxes rectangulaires, on se servait d’axes obliques, etfaisant entre eux des angles quelconques, il est évidentque cela ne changerait rien aux considérations précé-dentes, les coordonnées étant toujours parallèles auxaxes. Il est essentiel, dans plusieurs cas importans, d’em-ployer des axes obliques; mais comme il est toujoursfacile de passer d’un système d’axes quelconques au sys-tème des axes rectangulaires, et réciproquement ( voyezTransformation des coordonnées), nous ne considé-rerons d’abord que ces derniers.

5. Si de tous les points d’une ligne droite ou courbemenée d’une manière quelconque dans le plan de deuxaxes rectangulaires, nous abaissons des perpendiculairesaux deux axes, nous aurons, pour chaque point, deuxéquations de la forme

x — a, y = b.

Or, s’il existe la même relation entre les coordonnéesde tous ces points,cette relation uni-que pourra tou-jours s’exprimerd’une manière gé-nérale , et consti-tuera ce qu’on ap-pelle Yéquation cde la ligne. Lors ^donc que l’cqua-tion d’une lignesera connue, onconnaîtra aussi les équations de chacun de ses points, etpar conséquent toutes les circonstances de son cours.

6. Soit CD une droite quelconque. Si d’un point ode cette droite nous menons les coordonnées ox, oy,et si du point B où la droite rencontre l’axe des y, nousmenons BN parallèle à Ax, nous aurons un triangle rec-tangle dans lequel l’angle DBN sera le même que l’angleDCX que fait la droite avec l’axe des x ; ce triangledonne, en désignant le rayon trigonométrique par un,

1 : tang DBN :: Bn : no

faisons tang DBN — a, et AB = Z>; alors, à cause deBn=Ax=x et de no =ox — nx=ox — AB —y — b,cette proportion devient

1 : a :: x : y — b

d’où l’on tire

y = ax -f- b.

Telle est l’équation de la ligne droite, car nous obtien-drons évidemment la même expression, quel que soit lepoint que nous choisissions sur la droite CD.

y. Examinons d abord comment l’équation généraley = ax -f- b représente toutes les circonstances de lasituation d’une droite dans le plan des axes XX', YY'.