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D’abord , si dans cette équation on fait x = o, elledevient^ = b, et les deux expressionsx = o, y = b.

Sont ( 3 ) les équations d’un point situé sur l’axe des .y àune distance b de l’origine. Ce point est celui où ladroite CD coupe l’axe YY'.

Si l’on fait ensuite y — o, l’équation générale devient

o=^ax-\-bo\xx = — ^ et les deux équations,

b

x = --,y = o

sont celles d’un point situé sur l’axe des x à une distanceb

~ de l’origine, dans la direction AX'. Ce point est celui

où la droite CD coupe l’axe XX'.

La position de CD est donc entièrement fixée par sonéquation, car il n’y a qu’une seule droite qui puissepasser par les deux points C et B.

8. Les quantités a cl b qui entrent dans l’équationgénérale y = cix -|- b, doivent être considérées commedes quantités indéterminées, susceptibles de tous les étatsde grandeur, et auxquelles il suffit d’attribuer les va-leurs dépendantes des conditions imposées à une droitepour obtenir l’équation particulière de cette droite. CesValeurs sont en général : la tangente trigonométriquede l’angle que fait la droite avec l’axe des x, tangenteque nous avons désignée par a, et l’ordonnée du pointou cette droite coupe l’axe des y, ordonnée que nousavons désignée par b. Toutes les questions qu’on peutse proposer sur des lignes droites se réduisent donc àla détermination des quantités a et b de l’équationY = ax -\-b. Mais avant de passer à l’examen de cesquestions, nous devons encore examiner les formes par-ticulières que cette équation peut prendre dans certainscas qu’il est important de signaler.

9. Si la droite devait passer par l’origine, son équa-tion serait simplement

y = ax,

puisque dans ce cas b = o.

10. Si la droite était parallèle à Taxe desx, son équa-tion se simplifierait encore, car alors l’angle DCX étantüul, sa tangente serait zéro, et l’équation deviendrait

Soient x — x' et y = y' les équations du point o,et x = x", y = y” les équations du point P.

Au point o , les coordonnées de la droite devant êtreles mêmes que ceux de ce point, on exprime cette cir-constance en faisant, dans l’équation générale, x = x'et y =y' , et l’on a ( m )

y' = ax' -f- b.

Par la même raison l’équation ( n )y" = ax" + b

exprimera qu’au point P les coordonnées de la droitesont les mêmes que celles de ce point.

Mais la droite doit passer par les deux points : ainsiles deux équations (m) et ( n ) subsistent en mêmetemps, et déterminent par leur concours les valeurs dea et de b qui fixent entièrement la position de cettedroite. Résolvant donc ces équations, en considéranta cl b comme les inconnues ( voyez Equation ), nousaurons

a

y'—y"

x '— X"

b

x'y"—x"y'x' — x"

Substituant ces valeurs de a et de b dans l’équationgénérale, elle devient ( p)

y

_ y—y"

- t

x —x

X

x'y"—x"y

x' — x"

Telle est donc l’équation de la droite qui passe parles deux points x’, y' et x", y". Nous désignerons doré-navant un point par ses coordonnées; c’est-à-dire qu’endisant un point x',y' nous entendrons le point dont lescoordonnées sont x' ctÿ.

On peut donner à l’équation ( p ) une forme plus sim-ple en opérant ainsi qu’il suit :

Si de l’équation générale y=ax-{-b nous retranchonsy'=s=ax'-\- b, nous aurons (y)

y—y'—a{x—x'),

qui sera l’équation de la droite assujettie à passer par lepoint x', y'.

Dans cette dernière, mettons la valeur de a , obtenueci-dessus, nous aurons ( r )

y—y=~Ef~.yx-x')

y ~ b ,

c’est-à-dire que quelque valeur qu’on pût donner à xon aurait toujours^ = b. Ce qui exprime évidemmentJe parallélisme de la droite avec l’axe des x.

H. De même, une équation de la forme x = m, ap-partient à une droite dont tous les points sont à uneOlême distance m de l’axe des y. Elle représente doncOne parallèle à cet axe, éloignée de l’origine de cette

Quantité m.

Trouver l’équation d’une droite assujétie h pas-ser par deux points donnés, o et P.

pour l’équation de la droite qui passe par les pointsx',y' et x",y”.

Nous ferons remarquer que dans l’équation {q) laquantité a demeure indéterminée parce qu’il y a une in-finité de droites qui peuvent passer par le point x',y',et que la condition de passer par ce point ne détermineen aucune manière l’angle dont a est la tangente. Il n’enest pas de même dans les équations (p) et (r), dans les-quelles la condition de passer par deux points x’,y’ etx”, y" détermine entièrement la situation de la droite,et conséquemment la tangente a.