A?

iculaire , il faudrait dans l’expression générale

vir—yy+ix—x'T,

qui donne (i 3 ) la distance de deux pointsx,/'^t x',y',sultstituer les valeurs descoordonnées des points E etF. Or, les coordonnées dupoint E sont x', y' ; et quantà celles du point F, en con-sidérant que ce point estcommun aux deux droitesEF et ED, on voit facilementqu’elles doivent vérifier enmême temps les deux équa-tions de ces droites. Ainsi, a P F'prenant x et y pour inconnues, les équationsy — ax -f- b

y—y = —Ux—x).

Nous donnerons, pour les valeurs de x e? d e,y , les oo-01 données du point F; mais, comme d*ns l’expressionde la distance de deux points, les coordonnées des pointsn’entrent que par leurs différences, on arrivera plusvite au résultat en cherchant immédiatement les quantitésx — x’ et y — y'. Pour les obtenir, ou donnera à l’é-quation

y = ax 4- b

1 a firme

y—y' = a(x — x')—y' -\-ax' +et on en retranchera l’équation de la perpendiculaire

y—y'= — l (. x — x')-,

ou obtiendra ainsi

— x')=y' — ax' — b.

D’où l’on tirera

j gi- gCr *— a *'— b )i ’

et par suite

y—Ÿ

AP

405

+ ‘

y ' — ax' — b

i -f- a 1

Substituant ces valeurs dans

géra pas en les faisant mouvoir parallèlement à elies-mêmes jusqu’à ce que le Ysommet de l’angle soit àl’origine. Ainsi, nous pou-vons considérer seule-ment deux droites AM etAN, dont les équationssont alors

y— ax, y — a’x.

Prenons sur AAI unpoint M dont les coordonnées soient x', y' , et abais-sons de ce point MN perpendiculaire sur AN , la gran-deur de cette perpendiculaire sera (17)

7 n

MN =

y' — a'x'

(«o

\/1 -j- a’’

h cause de b' = o.

Mais en considérant AM comme le rayon trigonomé-trique, on aura (u)

ÂM’= 1 =x’*J r y’‘.

et comme le point M est sur la ligne AM, dont l'équa-tion est y = ax , on aura aussi

y' = ax',

et par suite (s)

y'* = a\r' a .

des expressions ( u ) et (z) on tire

, 1

«-- ,_ y — —7 —

y/i -fa* y/1 -j- a*"

Substituant ces valeurs dans ( v ), ou obtient

MN = — — a ~~ a ' - .

\/(i+«’)(i +«'*)

Mais MN est le sinus de l’angle MAN; donc l’angleformé par deux droites dont les équations sont

y = ax -J- by = a'x + b',

a, pour sinus, la valeur ,

a — a'

V(y—/)' + &—■*')“•

On aura, pour la distance cherchée , l’expressiony' — ax' — b

18. Déterminer Vangle que font entre elles deuxdroites dont les équations sont données.

Soient^ = ax -\-b , y= a’x-\-b' , les équations don-nées. Il est évident que l’angle de ces droites ne chan*

vA' + tf 1 )- (• +«")

Pour obtenir la tangente du même angle, on partira del’égalité ( voy . Sinus)

cos J 1 p = 1 — sin 1 <p ,

<p étant un angle quelconque.

On aura donc

cos* MAN = 1D’où l’an tirera

cos MAN =

(a — a ') 1

i -j-aa'

V» + «*)(« + a '*)

«4