AP

du triangle, on aura définitivement

a 2 -f- b 2 — c 2

AP

107

cos BAC =

•lab ’

égalité qui donne la valeur d’un angle au moyen destués côtés du triangle.

On obtiendrait de la même manière, pour les deuxautres angles,

a 2 -}- c 2 — b 2

Multipliant les deux premières égalités l’une par l’au-tre , et retranchant du produit le carré de la troisième,ou trouve

/a 2 4-b 2 —e*V

(nin — nui ) 2 = a 2 b 2 — (-—- J .

ce qui donne

S = i v4 a 2 b-(a 2 -\-b 2 — c 2 ) 2On peut mettre cette expression sous la forme

cos ABC = -

cos BC A =

2 acb 2 c 2 — a 2

ibc

Pour trouver la surface du triangle, il faut abaisserdu sommet A une perpendiculaire AD sur le côté BCou a , dont l’équation est

n—ri ,

jr—n= -, (x — m ),

m — tri

OU (12)

m—m m — ni

Oi, la longueur d’une perpendiculaire abaissée d’unI «> lut a ,y' sur une ligne

y—ax-\-b

ttt. d’après (17),

y — ax—b

v/r+ _ â r ’

lu 11 Dus avons

r'=o,y'=o, a=z - — b:

m — ni m — m'

S = \/s(s — a) (s— b) (,s— c ).

en faisant s égal à la demi-somme des trois côtés a , b , c ,ou en posant l’égalité s = ~(a-\-b-\-c).

2i. Si l’on avait un Yquatrième point D dontles coordonnées fussenttri', ri', en désignantpar d, d 1 , d' les distan-ces AD, BD, CD de cepoint aux sommets destrois angles du triangle,on aurait

A 1

m" 2 -\-n " 2 — d 2(ni’ — ni ) 2 -|- (ri — n ) 2 = d ’ 2(ni'—ni ) 2 + (,i'—ri ) 2 = d " 2

en développant les deux dernières égalités, et en substituant les valeurs des coordonnées en côtés, on trouve

„ . „ a-’+d’—d ' 2

mm -J- mi = — - -= p

Sinus aurons donc

AD =

ni ni' + ri ri' -.

b 2 -\-d’—d " 2

( n

nin — mn

\/(ni — ni ) 2 -f-(n— ri ) 2 ’

, i cause de c = \/( m—ni ) 2 + ( n—ri ) 2 ,

AD =

Mais en désignant par S la surface du triangle , on aS = jAD X BC =

Donc, en substituant la valeur de AD, on ac nin — mn!

2t

Pour changer cette expression en une autre qui nedépende que des côtés du triangle, il faut chercherl’expression de nin—nui en fonctions de ces côtés. Or,on a

a 1 = m 2 -(- n 2b 2 = ni 2 -f- n ' 2a 2 -\-b 2 — c 2

mni -|- nri

P et q désignant, pour abréger, les seconds nombresde ces égalités. Dégageant alors ni' et ri' on obtient

ni' =

nui—nin

„ mq—ni p

mri—ni ri

Substituant ces deux valeurs dans l’équation ni ' 2 -fri ' 2 = d 2 , elle devient

+(iaîr-^y=d 2 .

\mn —ni n J \mn —m n J

et, en développant,

n' 2 p 2 -\-n 2 q 2 —-mripq -f- m 2 q + ni 2 p 2 — <minipq

— d 2 . (nui — nin) 2 ,ou

p 2 (ni 2 -\-n' 2 ) q 2 (ni-\-n 2 )— %pq(nuii -\-nri)

— d 2 . (nui — nin) 2 .

Substituant, dans cette dernière, les valeurs des coordon-nées en côtés, on obtient

«y + rip 2 - 2 pq