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équation qui renfeimc toutes les propriétés des quadri-latères.

En faisant d= d' = d”, alors le point D est dans l’in-térieur du triangle , à égale distance des trois sommets :on peut donc le considérer comme le centre d’un cerclecirconscrit (Voy. Cercle). Les expressions ci-dessus de-viennent

a 2

• P = T’

ou bien

et, par suite,

4^ = - 4 -+-7 f

ce qui se réduit à

. a*b' la’b* Ai’-t- b 2 —c 2

^ n 2 4 b 1 —c’ y

d’où l’on tire

4<fS = abc,

. abc

expression très-remarquable du rayon du cercle circon-scrit à l’aide des trois côtés du triangle.

n. Prob. III. Trou- )•ver la valeur du rayond’un cercle inscrit dansun triangle.

Les équations des troiscôtés étant comme ci-dessus

n

y — —x

n

y= —> x

m

y-

n—n , mn

°P

°7 =

n" — —m vm

\/'+h

n -? m'

m

mn — m ny/ m’-J-n 1

V ' ni' 2

n — ri

or —

m—ni

7 m —

mn —m n

\/ (ni—ni') 2 + (n—n'y

(ni —ni') n'' — (n — n') m" — mn' 4 nin\/ ( m —ni') 2 + (n —n') 2 ’

°P =oq-

mn—m na

m’n" — m"n'

or

_ (mn" — m'n") — (m"n — m'n!) — (mn! — m'n)

Mais, la formule qui donne l’expression générale de laperpendiculaire résultant d’une extraction de racine ale double signe dt; les expressions précédentes peuventdonc être prises dans les deux sens. Pour ne faire usageque des valeurs positives, seules nécessaires dans laquestion qui nous occupe, il faut remarquer que dansla figure construite on a

n n" n'' n' n n’

’ m'^m' ’ ~m' > nü ’

et par conséquent

m"n^>mn" , m'n"^>m"n' , m'/T>mn’.

I) où il suit que pour n’avoir que des valeurs positives, ilfaut changer les signes de la première, qui devientalors

op-

ta n—mn

m'n" étant plus grand que il ne faut rien changer

à la seconde. Quant à la troisième, l’équation de UCétant

n — n’ , mn — m'n

y=-^r-—< x + ~— y •

Si nous faisons dans cette équation x=m", le point deBC qui répond à l’abscisse m" est nécessairement une or-donnée plus grande que n ", nous avons donc

m — m ■ m — m'

il s’agit d’exprimer la circonstance de la situation dupoint o à égale distance de ces trois côtés. Or, les coor-données de ce point étant m", n", les perpendiculairesop, oq, or, auront pour valeurs

* ~ n—n

n <-—- ; m

mn —m n

ou

mn!' — m'n" <( m"n — m'n! 4 nui — m’n;ce qui revient à

mn "— m'n "— m"n 4 m "n <j/m'— m'n,

en retranchant m"n — m"n' des deux membres. Maisdans la valeur de or, mn' — m'n est pris négativement.Ainsi, comme on a m'n'^>mn ,

— (mn' — m'n)

sera une quantité positive plus grande que la somme detoutes les autres; et conséquemment or est positif. Il nefaut donc pas changer ses signes.

Cela posé, soit

op — c oq = e or = e",

on aura ( p )

ae 4 be' 4 ce" = m'n - - mn' = uS.