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l’équation. Dans cette opération on considère le termeabsolu k m comme s’il était A,„ x °, et alors en le multi-pliant par l’exposant zéro il disparaît.

Si nous désignons par M, ce que devient l’équation (m)lorsqu’on y substitue a à la place de x , et par N ce quedevient l’expression ( n ) par la même substitution, lavaleur approchée de x, sera

M

A l’aide de cette valeur on obtiendra une seconde ap-proximation en opérant de la même manière, et ainsi• le suite. Nous allons faire une application de cette mé-thode à l’équation de l’exemple précédent.

L’équation donnée étant (i )

x 3 — ‘xx —5 = o,

sa dérivée est (2)

3x 2 — 2.

Nous avons d’ailleurs a = 2.

Substituant 2 à la place de x dans (1) et (2), noust rouverons

D’où

8 —4 — 5 =M12 — 2 = N.

M , i

x = 2 —-=• =2 “|-.

N 1 10

Substitua ;t de nouveau 2,1 dans (1) et (2), nous au-10ns

1 t’où

(2,i) 3 — 2(2,1)— 5 = M,3(2, i) 2 —2 =N.

M 0,061 ..

X=2,t- ^ =2, —3 = 2,0940.

Substituant encore 2,0946 dans (1) et (2), nous ob-t. endrons

(2,0946) 3 — 2(2,0946) — 5 = M,

3(2,0946)’ — 2 = N,

et, par suite ,

M

■*=2,0946— pj, = 2,0945S l47.

Chaque substitution nous donne donc les mêmes va-leurs que dans le procédé de Newton; seulement lata relie est plus simple. Raphson a encore facilité l'appli-cation de son procédé, en calculant des tables à l’aidedesquelles on obtient les quantités que nous avons dési-G'técs par M et N, pour chaque équation, jusqu’à cellesdu dixième degré inclusivement. Voyez AnalysisQquat. univ. London, 1690.

Il ne faut cependant pas conclure, de l’approximation,>a plde que nous venons d’obtenir pour la valeur de x ,dans l’équation x 3 —2X—5=o, que le procédé de Rapli-

•H5

son ou de Newton puisse s’appliquer avecle même avan-tage dans tous les cas. Si la première valeur approchéea différait de la véritable de plus de ~ , l’approximationserait beaucoup plus lente, et l’opération exigerait ungrand nombre de substitutions. Il est donc important,avant d’employer ce procédé, de trouver une valeur dex dont les limites soient plus rapprochées que a et a-}-

1 ; une simple application de la règle de fausse positionpeut abréger les calculs. Par exemple, après avoirtrouvé que l’équation x 3 — 2X— 5 se réduit à —1 en fai-sant x = 2 et à -f-16 en faisant x — 3, ce qui montred’abord évidemment que la valeur de X est plus près de

2 que de 3, on multiplie le résultat de chaque substitu-tion par la valeur de Vautre subàiuution, et Von divisela somme des produits par celle des résultats. Le quo-tient est déjà une valeur plus approchée de x que 2 et 3(Voyez Fausse position) , et l’application du procédéde Newton amène alors une approximation beaucoupplus prompte.

Nous aurons ici

iX3+i6X214~ 1 6

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J 7

= 2,05

en nous bornant aux centièmes.

Partant donc de cette valeur, la première substitu-tion donnera x=x,o‘] , qui diffère bien moins de la vé-ritable que x=2,i trouvée ci-dessus ; et, conséquem-ment, les substitutions suivantes donneront égalementdes résultats plus approchés.

Dans son bel ouvrage sur la Résolution des équationsnumériques , Lagrange a examiné la certitude de cesprocédés et le degré d’approximation qu’on peut attein-dre par chaque substitution successive. Les détails danslesquels il est entré 11e laissant rien à désirer, nous yrenvoyons ceux de nos lecteurs qui voudraient appro-fondir entièrement la question.

On doit aux illustres frères Jean et Jacques Ber-nouilli plusieurs méthodes ingénieuses d’approximationdontl’expositiou nous entraînerait trop loin (Voy. JeanBernouilli, opéra, tome III, et Actes de Leipsick, 1689).Taylor ( Trans. Philosoph. 1717), Thomas Simpson (Essays on several curions et usujïils subjets. London,1740. — Select exercises for young projicients. Lond.,1752), M. de Courtivron ( Mém. Acad, des Sc ., 1744)7et le mathématicien allemand Kæstner ont égalementdécouvert des procédés particuliers que les limites dece dictionnaire nous permettent seulement de mention-ner. Cependant, la méthode de Daniel Bernouilli , ex-posée dans le Commentaire de l'Académie de St.-Pé-tersbourg, tome III, et développée ensuite par Euler dans son ouvrage : Introductio in analjsin injinitorum,etc., repose sur des considérations si différentes detoutes les aulres méthodes que nous croyons devoir