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donner au moins une idée du procédé élégant qu’Eulcren a tiré.

La méthode de Bernouilli consiste à trouver une sérierécurrente (voy. ce mot) telle que l’un de ses termes, di-visé par celui qui le précède, donne une valeur de plusen plus approchée d’une racine de l’équation , selonque les termes employés sont plus grands. Supposonsdonc, dit Euler , que nous connaissions déjà les termessuccessifs p, q, r, s, t , etc. de cette série, il faudra que

2 indique la racine x déjà assez exactement; c’est-à-direqu’on ait à très-peu près - = x. On aura de même -

* P <]

= x; et la multiplication des deux valeurs donnera - X

P

r r _ , s .s

-=- = x*. De plus, comme - = x, on aura aussi - =q p r r p

, . . t t . . . .

x 3 ; ensuite, puisque -= x , on aura - = x 4 , et ainsi

de suite.

Si, dans une équation

x 3 -j-Ax , -|-Bx-J-C = o,

nous substituons ces valeurs, elle deviendra

1 + a- + b 2 +c = o,P P P

5 4 * Ar-f- By-j-Cp = o ;ce qui nous donne

s =—A r — B q — Cp;

expression qui montre comment chaque terme de la sé-rie récurrente doit être formé par ceux qui le précè-dent : de sorte qu’ayant seulement, dans le cas qui nousoccupe , les trois premiers termes, on est en état de con-tinuer la série aussi loin qu’on le voudra. Quant à cestrois premiers termes, on peut les prendre à volonté.Nous allons éclaircir ceci par un exemple, faisant obser-ver , avant tout, que le second terme de l’équation nedoit pas manquer. Soit l’équation

x 3 — x 1 — 2X— i = o.

Faisons x 3 =

s

P

x 1

r

P

nous aurons

-a- — i = o.

P P P

D’où

s — r+iq+p.

Par où l’on voit que chaque terme de la série doit ré-sulter de la somme des trois termes qui le précèdent,après avoir préalablement multiplié par 2 le terme dumilieu. Le commencement de la série étant arbitraire,

prenons 0,0, 1 pour les trois premiers termes, et noustrouverons pour les suivons

o, o, 1 , 1 , 3 , G, i3, 28, 60, 129,277, etc.

Ainsi, les valeurs de x seront

o 1 3 G i3 28 Go 129 277

o ’ o 1 i ’ i ’ 3 ’ G ’ i3 1 28 Go 1 129 e ^ C ’

Si nous prenons pour x la fraction —72, nous au-

129

rons

X= 2,147.•••,

valeur exacte jusqu’au chiffre des millièmes.

Nous devons faire observer que toutes les équationsne sont pas de nature à pouvoir y appliquer cette mé-thode avec avantage, et que souvent on est forcé decalculer un très-grand nombre de termes delà série pourobtenir une faible approximation. Eu outre, le choixdes premiers termes n’est pas entièrement arbitraire, etil est facile de s’apercevoir qu’on peut, en les détermi-nant convenablement, rendre l’approximation plus ra-pide. Quoi qu’il en soit, le procédé d’Euler n’en estpas moins un des plus ingénieux qui ait été trouvé jus-qu’à ce jour. Nous ferons connaître, à l’article sériés ré-currentes, les principes sur lesquels il est fondé, etdont la découverte est due, ainsi que nous l’avons déjàdit, au célèbre Daniel Bernouilli.

Il est assez difficile de pouvoir reconnaître exacte-ment le degré d’approximation qu’on obt. mt par lesméthodes précédentes ou de savoir, dans .chaque opé-ration , quels sont les chiffres décimaux auxquels on doits’arrêter pour ne pas rendre inutilement les calculs suc-cessifs trop laborieux. Sous ce rapport, le procédé deLagrange, que nous allons exposer, est supérieur à tousles autres, quoiqu’il ne donne que des approximationsplus lentes , et qu’il 11e soit en réalité qu’une méthodede tâtonnement.

Soit, comme ci-dessus,

x" -f-AiX ” 1 - 1 -J- As x"-‘ -f- A3 x'"- ! -f- etc... = o,

une équation d’un degré quelconque dont une racineréelle est comprise entre a et n-fi, ou dont a est lapartie entière.

En désignant par ^, la partie fractionnaire de cetteracine, nous aurons

•* = «+- ,y

et nous obtiendrons, par la substitution de a + - à la

y

place de x, dans la proposée , une équation en y dont laforme sera

y m +Kt -f etc... =0.Cette équation aura nécessairement unç racine réelle