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Ceci posé, il est facile de trouver la valeur des coef-ficicns que nous avons désignés par A, , A a , A3 , etc.,dans l’expression (ri) ; car A,, désignant le nombre despermutations d’un groupe de deux lettres dans lequelune de ces lettres se trouve une fois, est égal à
i .2.3.4. • - (m — i)m
-=—=-r—- = m.
1. 2 . 3 ...(/«—1). 1
A, , désignant le nombre des permutations du groupedans lequel a se trouve m — 2 fois et b , 2 fois, estégal à
1. 2 . 3 . 4 .. .(w—i).m 7/7(777— 1)
1. 2 . 3 .. . (ni —2). 1.2
J .2
Enfin, faisant successivement n—i, n =3 , n= 4 ? etc.,dans l’expression générale (a) , on trouvera de même
A 777(777—1) (777—2) A 773(777—i)(t? 3 —2)(m— 3 )
As ~ iTsl 1 A4 “ 172734 ’
etc., etc.
La puissance m du binôme (a-\-b) est donc définiti-vement
(a+b) m = a m +ma m ~ l b +
1 . 2.3
dont la loi de génération des termes est visible.
Si l’on voulait, au moyen de cette expression généraletrouver la quatrième puissance de (a-\-b ), il faudrait
commencer par calculer les coefficiens m , nl ^ m
1.2
etc., en faisant 771 = 4 , on trouverait
777 = 4
773(773—1) 4-3
1.2 ~ 1.1'
777(773—i ) (ni —2) 4 - 3.2
I . 2.3
1 . 2.3
= 4
m(m —1 )(t 7 î— i)(ni — 3 ) 4 - 3 . 2 .1
1.2.34 1.2.34
777(777— 1 )(m —2 )(ni — 3 )(m— 4 ) 4 - 3 . 2 .i.o
: O.
1 . 2.34 1 . 2.34
Il n’y a donc plus de ternies passé le cinquième, etla puissance demandée est
(a+i )4 = a 4 4 - 4 a 3 i+Ga , Z- , + 4 ai 3 +i 4 .comme nous l’avions déjà trouvé ci-dessus.
Toutes les considérations particulières sur la formede l'expression générale (777) , telles que le nombre deses termes, toujours égal à 777+1 , l’égalité des coeffi-ciens également éloignés des extrémités, etc., etc.,pouvant se déduire sans aucune difficulté de cette ex-pression même ou de la marche qui nous y a conduits,
BI
nous nous contenterons de faire remarquer une pro-priété des coefficiens qui consiste en ce que leur somme ,pour une puissance quelconque 77, est égale à 2" , etque la somme des coefficiens de l’ordre impair, c’est-à-dire le premier, le troisième, le cinquième, etc., esttoujours égale à la somme des coefficiens de l’ordrepair. En effet, dans l’expression générale (tt7) i faisonsa=i etô=i, nous aurons
<.+,)■ =»■ =■+?+—’
+ etc...
Faisons actuellement a= 1, et b = — 1, nous aurons
(,-,)»=o = 1 - s + n Jn=n l +
' . 1.0 1 . 2.3
I .2
+ etc...
Or, cette dernière égalité ne peut avoir lieu qu’au-tant que la somme des coefficiens positifs est égale à lasomme des coefficiens négatifs, ce qui est la mêmechose que la propriété énoncée.
L’expression générale (ni) a été gravée sur le tombeaude Newton, dans l’abbaye de Westminster , commel’une de ses plus brillantes découvertes. Nous devonsdire cependant que le cas des puissances entières posi-tives avait été entrevu par Viète et surtout par Briggs(Vov. Trigonometria britannica): mais aucun d’eux,même dans ce simple cas, ne s’était élevé à la forme gé-nérale des coefficiens
777(777—1 )(m — 2)... .(777—77+ 1)
I . 2.3 4 • • • • 77 ’
forme qui constitue la loi du développement. Ainsi,quelqu’emprunt que Newton ait pu faire à ses devan-ciers, il lui reste l'honneur plein et entier d’avoir re-connu que l’expression qui porte le nom de son binômeembrasse toutes les valeurs de l’exposant ni. La pre-mière communication qu’il fit de cette importante dé-couverte se trouve, dans une lettre écrite à Oldenbourg,le 24 octobre 16765 il paraît qu’il y fut conduit par l’é-tude du célèbre ouvrage de Wallis : Y Arithmétique del'infini. Le binôme fut donné par Newton sans démon-stration; mais la grande utilité de cette formule la ren-dit bientôt l’objet des travaux des mathématiciens -.Jac-ques Bernouilli, Moiére, Euler et d’autres, en donnè-rent diverses démonstrations ; cependant, même aU 'jourd’hui, il n’en existe pas encore une entièrement sa-tisfaisante pour le cas général de l’exposant quelconque;le plus grand nombre des démonstrations connues u<ssont rigoureusement que des vérifications ; les autre*>fondées sur le développement des fonctions en série* 1sont de véritables cercles vicieux dans lesquels on re 'garde comme établi ce qui est précisément en questto"'L’examen de ces démonstrations nous entraînerait tr°P