BI

°u la somme des produits deux h deux des lettres a, b)et ces produits se trouvent exprimés par toutes les com-binaisons deux à deux de ces mêmes lettres. Si l’onMultiplie cette dernière quantité par a-\-b , le résultat

uaa -J- aab aba -f- baa -J- abb -J- bab -j- bba -J- bbb,

°u la troisième puissance de a -(- b, contient la sommedes produits exprimés par toutes les combinaisons troistrois des lettres a et b.

De même, en multipliant encore celte dernière quan-tité par a-\-b, on formerait la quatrième puissancede a-\-b, qui serait évidemment composée de tous lesproduits formés par les combinaisons quatre a quatredes deux lettres a et b, et ainsi de suite.

Le produit de m binômes a-\-b, ou la puissance mdu binôme a-J- b doit donc contenir la somme de tousles produits formés par toutes les combinaisons m a mdes deux lettres a et b.

Mais des groupes différens de combinaisons peuventexprimer le même produit, ah, par exemple, est lamême chose que ba; abb , que bab , ou que bba , etc.,etc. ( voy. Algèbre , 7 et 11 ) ; il faut donc remarquer*ï u ’on produit quelconque se trouve , de cette manière,r épété autant de fois que les lettres qui le composentadmettent entre elles d’arrangemens différens ou deP e rmutations. Si l’on demandait donc, par exemple ,la quatrième puissance de (a-}-/;), il faudrait commen-cer par former les groupes de combinaisons qui ne cou-hennent pas les mêmes lettres, tels que

aaaa , aaab , aabb , abbb , bbbb ;

et ensuite on donnerait à chacun de ces produits tousles arrangemens différens dont les lettres qui les com-posent sont susceptibles pour former toutes les autrescombinaisons. On aurait donc

aaaa -j- aaab -)- aabb -}- abbb -j- bbbb-f- aaba -f- abab -j- b abb-J- abaa -j- baab -f- bbab-f- baaa -J- baba -f- bbba-j- bbaa-J- abba.

® °n 1 on conclurait :

(n -|-&)4 æ 4 3 a?b -j- 6a 1 -f- 3 ab* b 4 .

Qn doit donc considérer deux espèces de groupes deombinaisons, savoir: ceux qui expriment des produitsj 1 ei ens , tels que aaab et aabb , et ceux qui exprimentmême produit, tels que aaab et abaa. Les premiersnomment simplement combinaisons, les deux en-semble se nomment combinaisons avec permutations :a msi, aa , bb y ah, sont les combinaisons deux à deuxa et de b, et aa, ab, ba, hb , sont les combinaisonsdeux a deux avec permutations des mêmes leltrcs.

BI 225

Pour former la puissance m d’un binôme a-\-b , il nefaut donc que former toutes les combinaisons mk m desdeux lettres a et b, prendre les permutations de chaquecombinaison, et la somme de tous les groupes exprimela puissance demandée.

Or, les combinaisons m à m de a et de J sont : ,

a répété m fois, ou

a.a.a.a.a.a . = «",

a répété m —1 fois, et b une fois, ou

a.a.a.a . b =a m — l b,

a répété m —2 fois, et b deux fois, ou

a.a.a.a . b.b = a m —

«répété m —3 fois, et b trois fois, ou

a. a. a. a . b.b.b — ar-fy 1 ,

etc. etc.

Et enfin b répété m fois, ou

b.b.b .b.b . = b” .

Chacun de ces groupes doit se trouver à son tour ré-pété autant de fois qu’il admet de permutations.

Pour avoir l’expression générale de la puissance mdu binôme a-\-b , il ne s’agit donc plus que de connaî-tre le nombre des permutations qu’admet chaque groupede combinaisons, représentant un produit différent. Car,désignant par A, le nombre des permutations du groupeexprimé par a m ~ l b , par A, celui du groupe « m —’i’jpar A s celui du groupe a m ~P, et ainsi de suite, nousaurons évidemment («)

(«+£)"' = a ”‘ + An a m ~' b -f- A, a m ~* b 1 +

A 3 a m — 3 £ 3 + etc.... -|- A m _i ab m — » -}-£■“

Les groupes a m , b m , n’admettent point de permuta-tions, puisqu’ils sont composés d’une seule lettre.

On sait, d’après la théorie des permutations, qu’ungroupe de m lettres différentes admet un nombre depermutations représenté par le produit

i. 3 . 3 . 4 - 5 .6.7..( m —i).m,

c’est-à-dire par le produit de tous les nombres entiersdepuis Yunité jusqu’à m. Et que si ce groupe ne con-tient que deux lettres différentes, il faut, pour connaî-tre son nombre de permutations, diviser ce produit gé-néral par le nombre des permutations que pourrait for-mer la quantité de chacune de ces lettres, si elles étaientdifférentes.

Ainsi, lorsqu’un groupe de m lettres a et b contientn fois la lettre b , et m~-n fois la lettre a, le nombre deses permutations est exprimé par (a)

1.2. 3 . 4 - 5 . 6 . .{m —1)771i.2 .3.. [rn — n ). 1.2. 3 .. 7tVovez Permutation.

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