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ft. étant un nombre entier positif quelconque, si onle fait égal à m , on a, lorsque m est lui-méme entieroositif,

m (m— i)(tti— a). ..(m — p) = Q.

D’où il suit que, dans le cas de m entier positif, le dé-veloppement précédent n’a que 771+1 termes, et que ledernier terme est

7/1(771— 1 )(/ 7 »—2).. .(m—,

ou simplement

777(777 — i)(m — a).,. 3.2.17",

à cause de

(a-\-r) m — m \ r — (a-}-7’) 0 l r = o.

Dans le cas de toute autre valeur de m , ce développe-ment prend un nombre indéfini de termes. On a doncen général (p)

= ma m —— x)a m — *l r r J +

f- 771(771—1) (771—2)a™ —1s|r .r 3 -f- etc...

Cela posé, si l’on fait dans cette dernière expressiona = a-j-r , elle .devient

(a+2r)"’l r = (a+ 7 -)" , l'' + m{a-\-r) m - *l r . 7 J +

+ 771(771— i)(a-\-r'j n — % \ r .r a -f- etc.

Développant (a-j-r) , "l r , (a-j-/-)™ - *l r , etc. par la mêmeloi (p ) on obtient

(a-\-2r*f n \ r = a m V + ma™— ‘l'.7+777 (771—i)a m_

+ 777 a"-il r .r+771(777—i)a^—*l r .r*+..

+ 777(7/7—i)a m - s l r . 7 J +..

et, par conséquent,

(«+ 27 ’) m l r = a>»l r + 27 ?itf" —, l ,- .r + 3 m(m —1) a m ~ M r /’ , ++ 4777(711—1) (tw— 2)a m — z l'.r 3 + etc.

Faisant encore dans cette dernière expression a=*i+r, et opérant comme ci-dessus, on a

(a+ 3 r)” , i r = a m l r -i- ma m — l \ r .r -f- 771(777— i)a m —*\ r .r*-\-..

-f- 2777 a m ~ 1 1 r .r-\-2m(jn — ija " 1-8 1 r .r 3 +..

+ 3 / 7 i(t? 7 —i)a m —‘.f.r’-f-..

et, en additionnant,

(o-)-3r)"I r =r a™ k -(- 3rna m -'\' 4- 6771(777—i)a'»- s K.r* ++ 15777(777—1 )(tti— 2)a m ~ 3 l , '.r 3 + etc...

En suivant la même marche, on trouverait encore

(a+ 4 r)"!'- = a*i' + \ m a—*l<- + 10 771(777—i)a'"— slr . r*+ao 777 (/? 7 — i ) (777—2) a m —*i '. r 3 + etc.

Or, en examinant la formation des coefficiens numé-riques, on reconnaît facilement que ceux de (a+47)

sont donnés par la somme de ceux de («+30, et cesderniers par la somme de ceux de (a + 2 r) lesquelsforment la suite des nombres naturels.

1 ,2, 3, 4)5,6, 7, 8, 9, etc.

Ces cocfficiens sont donc les nombresfigurés ( Voy. cemot) des divers ordres ; et comme en substituant tou-jours successivement a+r à la place de a dans chaquenouveau développement, les coefficiens numériques se-ront nécessairement des nombres figurés d’un ordre deplus en plus élevé, il est évident que les coefficiens nu-mériques de (<7+7ir) m|r seront

*(«+') 71(77+1) (77+2)

* ♦ « 1-1 - T o » CtC-*

ou qu’on a en général

(a+7ir) m l r = a" 1,r + 7i 777a" , ~‘i r +

, 77(77+1) , . ,

+ -1—777(777—i)a m —*l r .r>+

, 7l(7ï+l)(7l+2) . .. .

-1 —-—-- ^ —-. 771 (777— 1 ) (777—2) a m - 5 1 r . r 3 + etc...

Or, le terme général de cette suite est, en désignantpar i- le rang des termes,

77(77+1)(77+2). . . (77+e—2) , .. .

—i-1—Cl- 1 ■ ' - \ -.777(7/7-1 )(777— 2).

I.2.3 ...(v —0 v v

(777— V-\-2)a m ~c + ll'-.T’ 1 ' — 1.

Mais on a

77(77+ l)(7i+2)(77+3). . .(77+1--Ssl = 7Ï*— 1 1* ,

et de plus (voy. Factorielle),

71*'—*1 1 .7 , ‘'— 1 = (77r)‘ ,— T.

On peut donc donner à ce terme général la forme777(777—0(777—2).. ■ (777—1+2 ) + , ,

1.2.3.4. ..(e— a ) ^ 1

Ainsi, faisant nr=b , on a définitivement

(a+i)- lr = a m I r + 771 « m -‘l ■ r .b + 3 K i ,|r +

, 777(777—1V777—2) .

J-!-A- 'af"— s \ r .b z l r + etc.

1.2.3

77 étant nécessairement un nombre entier , cette dé-monstration n’est entièrement rigoureuse que lorsque t>est un multiple exact de r j mais nous déduirons autrepart ce binôme en laissant les quantités a, b, m, r idans toute leur généralité. Nous devons seulement faû eremarquer ici qu’en faisant r infiniment petit et n in®'niment grand, on a toujours pour b un nombre fini Jcomme dans ce cas la factorielle générale o"l r se rédi» 1