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Bl

a la simple puissance a m , la formule ci-dessus se réduitaussi à celle de Newtou (Voy. Binôme de Newton ) , quise trouve par là démontrée jpour toutes les valeurs del’exposant.

BIQUADRATIQUE ( Alg. ). Nom donné par lesanciens algébristes à la quatrième puissance d’une quan-tité. Ainsi 16 est la biquadratique puissance de 2 , parceque 2 4 = 16.

Equation biquadratique. C’est une équation du qua-trième degré, ou dans laquelle la quantité inconnue estélevée à la quatrième puissance. La forme générale deces équations est

x 4 -f- Ax 3 -f- Bx 2 Cx + D = o,

dans laquelle A, B, C, D sont des quantités quelcon-ques positives, négatives ou zéro.

La résolution générale des équations du quatrième de-gré fut trouvée en premier lieu par Louis Ferrari, élèvede Cardan, ainsi que ce dernier nous l’apprend dansson Arle magna , publiée en i 54 o. Bombelli , en 1574»décrivit, dans son Algèbre, la règle deFerrari, avec quel-ques- développemens, et pendant long-temps il en futcru l’inventeur. Depuis, Descartes parvint au même•esuliat en suivant une marche nouvelle, et ensuiteplusieurs autres méthodes furent données par TVaring,Euler , Simpson, etc., etc. Mais quelque différens quePuissent paraître les procédés de ces mathématiciens,Us conduisent au même but, sont, en principe, essais -tellement les mêmes, et donnent une même forme auxr Ucines de l’équation.

E Méthode de Ferrari, nommée improprement règlede Bombelli , Soit l’équation générale du quatrièmedegré,

x 4 -J- ax 3 -j- bx 7 -J- cx -f- d = o.

Supposons cette équation identique avec

(x 1 + f ax + p) 2 — ( qx -f r) 2 = o,

P> Ç et. r étant des quantités inconnues qui vo*t êtredéterminées par cette supposition.

En effet, on a, en développant les puissances,

^'* 1 "l"i«x-}-p) , = x 4 -l- ax 3 -f- 5 a 2 x 2 + apx + p 2

+ 2 p x 2

! — ( <jrx-J-r ) 2 == — q 7 x 2 —2 qrx — r 7 .

Or

’ n comparant avec la proposée il faut, pour queexpressions soient identiques, que les coefficiens deses puissances de x soient les mêmes ; on a donc

a — a

\a 7 ip — q 7 = bap — %qr = cP 2 + r 7 — d.

Au moyen de ces équations les valeurs de p, q et rpeuvent être facilement obtenues. On en tire d’a-bord

8 p 3 — 4 bp 1 -}- ( 2ac — Sd) p — a 7 d -f- 4 bd — c 2 = o,

équation du troisième degré qui ne contient plus quep, ainsi on peut considérer cette quantité comme étantentièrement connue. Mais p étant connu, la valeur deq donnée par la seconde équation ,

<7 = \/(ï a * + 2 P — b)

et celle de r, donnée par la troisième

ap — c

r = —-,

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se trouvent déterminées.

Les quantités p, q, r étant ainsi trouvées on enobtient immédiatement les quatre valeurs de x del’équation proposée; car cette équation est alors effec-tivement identique avec

( x 2 + i ox + P )* — ( qx 4- r ) 7 = o,

qui donne

(x 2 + i ax + p ) 7 = {qx + r) 7 .

Prenant la racine seconde des deux membres, nousavons

x 2 + -I- ax -f p = ±1 (qx + r),

d’où l’on tire, à cause du double signe dz, les deuxégalités

x 7 + (i a— q) x = r — px 2 -\-(±a-\-q)x—p — r.

Équations du second degré dont les racines

* —i^ + V /[(i^!)V- P ]

X

•r a 4~ y

2

sont les quatre racines demandées. On voit que cetteméthode fait dépendre la solution de l’équation duquatrième degré de la solution préalable d’une équationdu troisième. Il en est de même de toutes les autres.

II. Règle de Descartes . L’équation proposée étantprivée de son second terme (voyez Transformation),ou ramenée à la forme

x 4 px 2 qx r = a.