On peut la considérer comme formée par le produit dedeux facteurs du second degré

x 1 + acc b , x' + ex + d,

les coefficiens a, b , c, d étant des quantités que la con-dition d’égalité

x* -f- pX x -{■ qxr =* (x*ax b) (x*ex d)

va nous servir à déterminer.

Effectuant la multiplication indiquée, nous avons

x 4 -f- px‘ -|- qx -J- r = x 4 -J- ax 3 -J- bx 1

+ CX 3 + aex 1 -{- bcx

+ dx* -f- adx bd.

Ce qui donne les équations de conditions

a -f- c = ob -f- ac -|- d = pbc -f- ad = qbd = r.

La première donne c = — a; substituant — a, à laplace de c, dans les deux suivantes elles deviennent

b — a 1 -J- d = pail — ab =. q.

Multipliant la première par a, et l’ajoutant ensuite à laseconde on obtient

lad — a 3 = pa -f- q,

d’où l’on tire

d= a 3 +pa + qza

Cette valeur de d étant substituée dans la dernière équa-tion de condition, elle donne

2 ar

o =-*—r-j—.

« + p a + q

Enfin substituant ces valeurs de b et de d dans l’équa-tion ad — ab = q , on trouve définitivement

a 6 -f- : ipa 1 -|- p , a x — q 1 — £r = o.

Cette équation, qui se nomme la réduite, quoiqueétant du sixième degré, peut se résoudre comme cellesdu troisième. ( Voyez Abaissement. ) On peut donc con-sidérer la valeur de a comme connue. Mais les deuxfacteurs du second degré, en y substituant à la place dea b , c, d les valeurs de ces quantités, deviennent

x 1 -{- ax -j-—- = q

-+#» + *

j>-ar+ia> + ip-fi- = o.

Il ne s’agit donc plus que de résoudre ces deux équa-tions du second degré pour obtenir les quatre racinesde la proposée. Ces racines sont :

x « -)- \ / ^ a 2 — —

a ’ +P+Î

a ' + P +

x = +

III. Règle d’Euler . Si l’on remarque que la résolu-tion d’une équation du second degré se réduit à prendrela racine carrée d’une certaine fonction de ses coefficiens,et que celle d’une équation du troisième degré se réduitégalement à prendre la racine troisième de deux fonc-tions de ses coefficiens, l’analogie porterait à conclureque la résolution d’une équation du quatrième degrédoit pouvoir se ramener à l’extraction de la racine qua-trième de trois fonctions semblables de ses coefficiens,c’est-à-dire que la forme d’une des racines de cetteéquation doit être

v'M + v'N + v'O,

M, N, O étant trois fonctions des coefficiens de l’équa-tion.

Mais en observant que l’extraction d’une racine qua-trième peut s’effectuer par deux extractions successivesde racines secondes, nous pourrons donner aux ra-cines de l’équation du quatrième degré la forme plussimple (a)

x = \/<p + vV + vV>

<p, <p', <p" étant les fonctions des coefficiens p , q , r del’équation générale

x 4 — px x — qx —r = o.

Pour déterminer ces fonctions, élevons d’abord l’éga-lité {a) à la seconde puissance, nous auronsx* = <p -J- <p' tp" + 2 \/<p<p' + a \/tp<p" + 2 \ou

x* — A = z\Zçq>' + + 2 \/<p'<p",

en faisant A = <p -f- Q' +

Élevant encore cette dernière égalité à la secondepuissance, nous aurons

x 4 — aAx* + A» = 4W'+ 4<?<P" + W‘P"+ ___

faisant <p<p' -f- -j- <p'<p" = B, et quf'<p" = C, o° us