CA

troisième degré, sans second terme, ses trois racinessont (a) (Voy. Equations cubiques) :

CA 275

[A -iv + ,]W[,-i iv'-.+i S -

I . ,

ü. ,

+v[-ï-v(î+t)]-

—v[-î+vft+S)]*=^+

+vH-v/(ï+g)]x=^3.

O u , , io B 4 -1

-iA îV/ I_ ^243 A4 etc --J-

_ 5 _ B 327.

Désignant par M la somme des termes impairs où laquantité \/—1 11e se trouve pas, et par N la sommedes coefficiens de ]/ —1, ces deux expressions devien-nent

[A+B y/— if = A 3 [M+N V / — 1]

[A—B/— if = A*[M—N*/—1]dont la somme est

a; = 2 AsM,

+vï- ç --v(Ç+ 0 ] 1 ~H \ quantité réelle.

L 2 ^ ^ 2 7x J 2 Ainsi, la première racine est une quantité réelle

ps

. — 1 +\/~-3’ u

r „ , , , . „ o 1 , dont la valeur est donnée par la série

lorsque les valeurs de p et de q sont telles que —f- i r

est une quantité négative, ce qui arrive toutes les x = 2A 5 £i Jï + ^3 ^4 + H" etc...J.

^°' s que ~~ est négatif et plus grand que , alors ^ es deux ■

Vf

■(T p i \

-f- ~J devient imaginaire , et par suite les trois

,a tines le sont également. Par exemple, si l’équationProposée est

a; 3 —7a?-{-6=0.

Co

ni parant avec les formules précédentes, on a p =—7*7 53 6, d’où l’on obtient pour la première racine

*“H-s+v/-^]+]

ex pression imaginaire, dont il est impossible de rienc °nclure pour la valeur de x. Quant aux deux autresl acines, elles se trouvent doublement compliquées d’i-

: autres racines deviennent

.-I+V /-3

a.. .a: = [A 3 M-f-A 3 N\/—1] X -

+ [A^M—A 3 N y/ —1] X

— 1 —y/—3

3 ... x = r A 3 M-(-A 3 N\/—1] X

— 1 — 47—3

-f- [A 3 M—A 3 N \/—i]X‘

.+V/-3

Ce qui se réduit, en effectuant les multiplications, à

I f

2_ x = — A*M + A 3 N \/3

• 1

3 .. ..x — — A 3 M—A 3 N 4 / 3 .

gtnaires. On prouve cependant avec facilité que dans Ces racines sont donc également réelles.

Ce c as les trois racines sont réelles. En effet, faisons en II est donc prouvé que lorsque p est négatif et que

général

l’on a

-2-a

^ 4 ’

les trois racines sont réelles, et que malgré la formeimaginaire sous laquelle elles apparaissent on peut lesdévelopper en sériesj mais ces séries, par leur compli-cation de quantités irrationnelles, n’offrant qu’un moyeninsuffisant pour arriver à l’évaluation des racines, il

v [j +9=^-'

aUl ° ns ) pour la première racine, (b)

x = V[A+B\/_, ] -f y/fA-B V/-1 ].

0r > s ‘ l’on développe v / [A+B\/—1] et y/[A— Bv/— 1] faUt avoir , recours à d ’ autl ' e f procédés ( Voy. Approxi-Par la foi 'mule de Newton (voy. Binôme) , on obtient MAT,0N ’ Équations, Racines commensurables). C’est

ainsi qu’en appliquant la méthode des racines com-[A-t-Bv/— i]ï = a' 3 [ , + îlV-i+~ + mensurables à l’équation

,5 B 3 , 10 B 4 q *»- 7 *+6 = 0 ,

a 7 A 243A 4 1 J on obtient, pour les trois valeurs de x, X=i t