CE
CE
car, menant la corde CE, les deux triangles ACE, ABFseront rectangles, le premier en E , le second en B , etdonneront par conséquent
ACE = ABF :: AE X EC : AB X BF,
mais l’angle A étant commun à ces deux triangles, letroisième angle ACE du premier est égal au troisièmeangle AFB du second, et on a aussi
ACE : ABF :: AC X EC : AF X BF.
Le rapport ACE : ABD, étant commun aux deuxproportions, on en conclura
AE X EC : AB X BF :: AC X EC : AF x BF,
d’où l’on tire, en divisant les antécédens par EC , et lesconséquens par BF,
AE : AB :: AC : AF,
ce qui donne
AE X AF = AC X AB.
Donc, etc.
23. Une ligue courbe pouvant être considérée commeun assemblage de lignes droites infiniment, petites, lacirconférence du cercle n’est que le périmètre d’un po-lygone régulier d’un nombre infini de côtés, et le cerclelui-même n’est qu’un tel polygone.
Envisagé de cette manière , on voit immédiatementque le cercle doit avoir toutes les propriétés des poly-gones réguliers (voyez Polygone). En conséquence ,
24. Tous les cercles quelconques sont semblablese utre eux.
25. Les secteurs de différens cercles formant au centredes angles égaux entre eux, sont aussi semblables entreeux.
26. Les circonférences de cercles différens, de mêmeque les arcs qui sous-tendent des secteurs semblables,sont entre eux comme les rayons de ces cercles.
27. Les surfaces des cercles, de même que celles dessecteurs circulaires semblables, sont entre elles commeles carrés de leurs rayons ou de leurs diamètres.
28. La surface du cercle est égale au produit de sacu ' c °nférence par la moitié du rayon ; ou bien à la moi-bê du produit de la circonférence par le rayon.
2 9* La sux-face d’un secteur circulaire est égale à la^cntié du produit de son arc par le rayon.
3o. TheorÈme. Trouver le rapport du diamètre a la^conférence ; ou bien , le rayon étant supposé égal àUnité, trouver la demi-circonférence.
rapport étant transcendant, comme nous le ver-, l'^ Us loin, la géométrie élémentaire ne peut ré-e Problème que par approximation. Si l’on con-e que la circonférence est plus grande que toutV ygone inscrit, quel que soit le nombre de ses côtés,plus petite que tout polygone circonscrit, le moyen
le plus simple qui se présente pour arriver à une éva-luation approchée de la circonférence, consiste à calcu-ler les périmètres de deux polygones, l’un inscrit etl’autre circonscrit, et d’un nombre de côtés assez grandpour que la différence de leurs périmètres soit au-des-sous du degré où l’on veut pousser l’approximation :alors la grandeur de la circonférence qui est entre celles deces périmètres sera connue d’une manière satisfaisante.
C’est ainsi que le rayon du cercle étant 1, on trouve :
Polygones inscrits.
Nombre de côtes.
3
6
12
24
48
06
192
384
768
i536
Demi-perimètres.
3 ,ooooooi3 , io 582853,13*262863 ,i 3935023,i4io3i93 ,i 4 i 45253,14155763 ,1 4 1 58393,14159043 ,1415920
Polygones circonscrits.
Xtomlire de côtds.
3
6
12
24
48
96
192
384
768
i536
Demi-peri métrés.
3,46410163,2i53go33 ,i 5 g 66 oo3,14608623,14271463,14187313 ,i 4 i 663 o3,14161023 ,i 4 159703,415987
La demi-circonférence du cercle tient le milieu entredeux demi-polygones inscrit et circonscrit d’un mêmenombre de côtés ; mais elle u’en est pas la moyennearithmétique. L’algèbre nous apprend qu’il faut ajouterà la première valeur, non la moitié, mais le tiers dé leurdifférence , pour avoir la valeur très-rapprochée de lademi-circonférence du cercle. En faisant ce calcul, voiciles résultats qu’on obtient :
3 .
6 .
1^ .
... 3,4i5g55
24 .
••• 3,415929
48 .
96 .
!9' 2 .
31^4 .
.... 3,415927
768 .
... 3,1415927
538 .
... 3,415927