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tuais le rapport ACO : DBO étant commua à cette pro-portion et à la précédente, on en conclura

AC X AO : BD x OD :: AC X CO : OB X BD.

Divisant les autécédens par AC, et les conséquens parBD, on aura

AO : OD :: CO : OB,

ai. Théorème. Si d’un point quelconque pris horsd’un cercle, on lui mène deux se'cantes, le rectangleformé entre l’une de ces sécantes et sa partie extérieuresera équivalent au rectangle formé entre F autre sécanteet sa partie extérieure.

Soit le cercle ci-dessus ; si d’un point D pris au dehorsou mène les sécantes AD, DE, on aura

donc

AD X CD = DE X DF.

AO X OB = CO X OD,

donc, etc.

ao. Théorème. Si d’un point pris hors d’un cercleon lui mène une tangente et une sécante, le carré de latangente sera équivalent au rectangle construit entrela sécante entière et sa partie extérieure.

Soit' le cercle ABCEAj si d’un point quelconque Dpris au dehors de ce cercle, on mène la tangente BD etla sécante AD, on aura

BD’ == AD X CD,

car, menant les cordes AB ,

BC, les deux triangles ABD,

CBD auront les trois angleségaux chacun à chacun,savoir l’angle D commun ,les deux angles DBC, BACcomme ayant chacun pourmesure la moitié de l’arcBC, et les deux autres an-gles BCD, ABD à cause del’égalité des deux premiers( Angle 8 ).

Or, à cause de l’égalité des deux angles BAD, CBD,on a

d

ABD : CBD :: AB X AD : BC X BD,et

ABD : CBD :: AB X BD : BC X CD,

à cause de celle des deux angles ABD, BCD.

Mais le rapport ABD : CBD étant commun aux deuxproportions, les autres rapports sont égaux, et l’on a

AB X AD : BC X BD :: AB X BD : BC X CD,

ou

AD : BD :: BD : CD,

en divisant les antécédens par AB et les conséquenspar BC.

D’où l’on tire

BD* = AD X CD.

Donc, etc.

Car, menant les cordes AF, CE, les deux trianglesAFD , CEF, auront leurs trois angles égaux chacun àchacun, savoir : ADE qui est commun, DAF et DECcomme ayant chacun pour mesure la moitié de l’arc CFet AFD , DCE à cause de l’égalité des autres.

Or, l’égalité des angles DAF, DEC, donne la pro-portion

AFD : ECD :: AD X AF : DE X CE,

et l’on a aussi

AFD : ECD :: AF X DF : CE X CD,à cause de celle des deux angles AFD , DCE.

Mais le rapport AFD : ECD étant commun aux deuxproportions , on en tire

AD X AF : DE X CE :: AF X DF : CE X CD,

d’où, en divisant les antécédens par AF, et les consé-quens par CE,

AD : DE :: DF : CD,

ce qui donne

AD X CD = DE X DF.

Donc, etc.

11 . TnÉoRÈME. Si dans un demi-cercle on élève uneperpendiculaire sur le diamètre , et que de l’extrémitéde ce diamètre on mène une droite qui coupe laperpendiculaire et la circonférence, le rectangle forméentre les distances, prises sur cette droite , de l’extré-mité du diamètre a la perpendiculaire et au cercle, seraéquivalent au rectangle formé entre le diamètre et sonsegment adjacent à cette droite.

Soit le demi-cercle ADC; si on élève la perpen-diculaire BD surle diamètre AC,et que de l’extré-mité A de ce dia-mètre, on mène ladroite AE qui cou-pe la perpendicu-laire en F, et la cir-conférence en E,on aura

AE X AF = AC X AB