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5 US

Ainsi dans le cas de x = i , nous avons

p dx

J Vi—x* ■*

et par conséquent

>= 4 œ 4| -‘ T

d’où enfin

Î\A= (*)*'“*

Cette élégante expression de tt nous apprend que cenombre est une quantité irrationnelle d’un ordre su-périeur aux irrationnelles élémentaires.

34 - Jean Bernouilli, par la considération des loga-rithmes des quantités dites imaginaires, est arrivé à uneexpression de ir également remarquable : c’est la sui-vante :

■ J°gV^

— 7 T =_

C’est en faisant observer qu’il entre dans cette égalitédes logarithmes qui sont déjà des fonctions dérivées, etque pour obtenir l’expression théorique d’un nombre(ce qui constitue sa nature), il ne faut employer que desfonctions élémentaires entièrement primitives (l’addi-tion , la multiplication, les puissances et leurs inverses),que M. Wronski parvient à la belle expression

= +V =^) 1 — (i—\A—"î)" J

qui ne contient plus en effet que des fonctions primi-tives et qui dévoile la nature entièrement transcen-dante de ce fameux nombre. (Vov. Introduction à laphil. des math. , page 26. )

_ > «

En développant les binomes(i -J-y/ZZÏ)” ( j ÿ' —IT

par la formule de Newton, on retrouve la série deLeibnitz .

35 . Pour compléter, autant que la nature de cet ou-Vra ge nous le permet, ce qui a rapport au cercle, nousne devons pas passer sous silence les produites continuesde Wallis. Ce célèbre géomètre a trouvé

^action,

a. a. 4> 4*6.6.8.8.10.10.12. etc....i.3.3.5.5.7.7.9.g.n.n.etc....

qui, lorsqu’on se borne à un nombre fini deermes, comme on y est obligé lorsqu’on veut réaliseret cu * s > donne des valeurs alternativement plus petites

Un * ® Fan< ^ es q ue véritable, suivant qu’on prendD0l ûbre des termes pair ou impair. C’est ainsi que

trop grand et que est trop petit. De même

2

- est

I

2.2.4-4-6 , 1 .2.2.4.4.6.6

7373^5 sera tr °P8 rand ’ ct 737075^ sera tr °P

petit. O11 obtient donc par ce moyen des limites déplusen plus rapprochées entre lesquelles se trouve la vraievaleur de w.

36 . Brounker s’est rendu célèbre par la fraction con-tinue suivante :

i+J_

a + 9

2+25

2 +49

2 + 81

2 + etc.

dont les numérateurs sont la suite des carrés des nom-bres impairs 1, 3 , 5 , 7, etc.

Cette fraction n’est qu’une transformation de la sériede Leibnitz , et elle est tout aussi peu convergente quecette dernière j c’est-à-dire qu’un nombre quelconque determes de la fraction donne précisément la même valeurqu’un pareil nombre de termes de la série.

Euler s’est beaucoup occupé de toutes ces expressionssingulières du nombre v, nous ne pouvons que ren-voyer à son Introduction h Canalyse des infiniment pe-tite, ceux qui voudraient approfondir cette matière.

37. Nous terminerons cet article en donnant la frac-tion continue suivante, à laquelle nous sommes parve-nus par l’application de nouvelles formules sur ces im-portantes fonctions. Ployez Fractions continues.

i+rîs_

1 + ï ^7

1 +etc.

La loi en est facile à saisir : les numérateurs des frac-tions particulières sont, comme dans la fraction deBrounker, la suite des carrés des nombres impairs 1, 3 ,5 , etc. ; et les dénominateurs sont les produits deux àdeux successifs de ces mêmes nombres. Cette fraction estbeaucoup plus convergente que celle de Brounker ; ilsuffit de6 termes pour approcher delà valeur de v amoins de ~ >co près.