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3(9

sin AOy = sin AOG = sin (GO h /iOa;<

L’où {Voy. Sinus)

sin AOy = sin GO/t. cos /iOA — sin /iOA. cos GO/»et , substituant les valeurs de sin GO/t et de cos GO h ,

sin AO y=^. cos /iOA —sin /»OA

Le triangle AO/t étant rectangle en h, les deuxAngles /iOA et OA h sont complémens l’un de l’autre.Ainsi, ayant désigné OA h par <p , nous avons

dy y/(C— yY —Wc osydx ncostp ‘

Nous déterminerons la constante C en remarquantqu’au point A, on a

dy

x= o,y=oet ^ = tang<p.

Ces valeurs substituées dans ( d ) donnent

cos AOA = sin tp et sin hO A = cos <p,

i ou

r v dx . dysin AO• s * ni P— 2s C ° S

Et enfin, en substituant les valeurs précédentes dans (a),°u obtient (b)

dx dx . _ dyn : s : : -r- : -r- sin<S— -r cos <p.ds ds r ds

Le cette dernière proportion, on tire (e)

dy

s = nsm<p —«^ cos

Eu différentiant l’équation (c), elle devient

i d'y

ds=—n cos <p.

Mais pas la nature du triangle élémentaire mny , on a»ussi.

n tang <p. cos f> = \ZC' — n'cos'çou, à cause de tangip. cos<p = sin <t(Voy. Sinus),n sin <p = \/f>— n'cos'ipÉlevant au carré, on obtient

n’sin^ip = C’— n'cos'Q

et par conséquent,

C ï =re 1 (sin 2 lp-[-cos ^ <p)=« J •

Ainsi C = n et l’équation différentielle de la chaînette,est définitivement (e)

dy \Z(n — y)' — n'cos'tp

dx n cos <p

Pour intégrer cette équation, faisons

n — y=z , n cos <p— m

nous aurons

dy — — dz,

et elle deviendra

rndz

dx = -

Donc,

ds = \/dx*-\-dy'.

- y

\/dx'-\-dy'= — ^ cos <p.

O où l’on tire facilementj dy — n cos <p-

j d'y

Inté

gfant cette dernière équation, on obtient

?= — nco$<p i— + C^ Multipliant par dx et dégageant le rapport

aôc' devient ( d)

\/z* — m'

Sous cette forme, l’intégrale est (log. désignant le loga-rithme naturel),

a?=7»log£n(i — y/z'— n» 2 J-j-C.

Ainsi, en remettant pour z et rn leurs valeurs, on a

x= n cos <p log£(n— y) —\/(«— y)'— n’cos*pJ C .

Pour déterminer la constante C , faisons x = o ety = o dans cette dernière équation, et nous obticr*drons

C = — «cos p.log£«(i— \/i—cos 2 ip)J,

d’où résulte pour l’équation élémentaire de la chaînette:l’expression (/)

^«cos^dogH—]L n —«y/i—cos 2 p J