CO

CO

le coefficient du second terme est égal à la somme detoutes les racines de l’équation prise avec un signe con-traire.

Le coefficient du troisième terme est égal à la sommedes produits deux à deux des racines.

Le coefficient du quatrième terme est égal à la sommedes produits trois à trois des racinesprise avec un signecontraire.

Et ainsi de suite jusqu’au dernier Z, lequel est consi-déré comme le coefficient de x° et qui est égal au pro-duit de toutes les racines.

Par exemple, soit l’équation du troisième degré

x 3 + Ax 1 -j- Bx -|- C = o,

dont les racines sont a , b, c, nous aurons

A = — (a -j- b c)

B = ab -f- ac -j- bcC = — abc.

Uoy . Equation.

Méthode des coefficiens indetermine's. Cette mé-thode, l’une des plus fécondes de la science des^ombres, fut entrevue par Viète, mais c’est à Descartes gu’on en doit le développement et la première ap-plication importante j depuis on l’a employée avecs Uccès dans les parties les plus élevées de la science,s °it comme moyen de démonstration, soit commetUoyen de découverte. Elle consiste généralement àsupposer une équation avec des coefficiens indétermi-nés dont on fixe ensuite la valeur par la comparaison deSes termes avec ceux d’une autre équation qui lui doitêtre égale. C’est ainsi que Descartes est arrivé à la solu-fion des équations du quatrième degré. Voy. Biqua-®Ratique.

La méthode des coefficiens indéterminés est d’ungrand usage dans la génération des quantités par leUioyen des séries. Nous allons examiner ici divers casParticuliers afin de rendre plus sensibles et la méthodeaile-même et les divers procédés dont elle se sert.

E Supposons d’abord qu’il s’agisse de développer en

s êt'le la quantité jjjf~ i dans laquelle x est un nombre

^elconque, ou, comme on le dit, une quantité variable.^° Us poserons l’égalité (a)

=A _j_ Bx + Cx > + Cx 3 -^ Dx 4 4-Ex 5 -f etc.

** B, C, D, etc., seront donc les coefficiens dont ilttt déterminer la valeur.

j ^-Vant de poursuivre, nous devons faire observer queforme de l’égalité (a) n’est point arbitraire, mais^ e Bc est fondée sur la proposition suivante dont nous° n nerons ailleurs la démonstration.

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Une fonction quelconque d’une quantité variablex peut toujours être développée en série procédant sui-vant les puissances progressives de x , c'est-à-dire <fxétant une fonction quelconque de x et A„ , A,, A a , etc.des quantités indépendantes de x, mais déterminées parla nature de la fonction , oh a(z)

<px = A„A.x-j-A.x'-f-A s x 3 4- A 4 x 4 4" etc> ..

Ceci posé, et la forme de l’égalité (a) ainsi légitimée([voy . Fonction), multiplions les deuxmembres de cetteégalité par b-\-x , et faisant passer ensuite a dans le se-cond membre , nous aurons (6)

o = Ab -f- B bx -f- C bx* -|- DZ>x 3 -j- E&x 4 4~ etc.

— a -f- Ax -f- Bx’ -f- Cx 3 -f- D# 4 -f- etc.

L’égalité (a) devant subsister quelle que soit le valeurde x , il en est nécessairement de même de cette der-nière , mais lorsqu’on fait x=o elle devient

A b — a = o ,

d’où l’on tire

donc cette valeur de A doit rester la même pour touteautre valeur de x , et par conséquent le premier coef-ficient se trouve ainsi déterminé. Retranchant dans ( b )les quantités A b, et —a qui se détruisent, celte équationse réduit à.

0 = BZix-J- CZ>x’ -j- Dix 3 -(- E bx 1 ' 4* F bx s -f- etc.4* Ax 4" Bx 1 4* Cx 3 -j- Dx 4 4- Ex 5 -j- etc.,

ou , divisant par x , à (c)

o = BZ> -j- Cbx 4“ DZ>x’ 4” EZ.-X 3 4“ FZix 4 -)- etc.

-}- A 4" B-* 4“ Ex’ 4“ Dx 3 4“ Ex 4 -f- etc.

Cette équation devant encore subsisterpour toute valeurde x, faisons x=o et nous aurons

BZ'4"^- == °j

D’où

en substituant à la place de A, sa valeur ^trouvée ci-dessus.

Retranchant BZ>4-A=o de (c) et divisant par x, ilnous restera (d)

o = Cb -j- Dix 4- E bx 1 4- FZ>x 3 -j - Gbx 4 -j- etc.4* B Cx 4* Dx J 4 - Ex 3 4" Fx 4 4" etCi