CO

— =m(m —

^ ^akc 3 ^' = m (m — i )[ ,H —2)(a-|-a?)"

A, =

Àj -

CO

\*<px

331

ü 3 <px

i—3

etc....

etc.

faisant dans toutes ces expressions x=o , et substituantdans («) en observant que

<px=(a-\-x) m =a m ,

uous aurons

(a 4 - x) m = a m -{- ma m — 1 x 4 - ^ s a a m ~ z x % -\-

m(m— i)(m— 2 ) am -i x i + etc ...,

' I.2.3

c’est-à-dire le binôme de Newton.

Or, comme les expressions précédentes sont indépen-dantes de toute valeur particulière de ni , le binôme deNewton se trouve ainsi démontré pour un exposant

Quelconque.

La loi générale ( n ), dont nous venons de donner unedéduction , est connue sous le nom de théorème de Ma-c taurin, nous verrons ailleurs en exposant le théorèmede Taylorjvoy. ce mot), qu’elle n’est qu’un cas particu-lier de ce dernier.

III. Une fonction quelconque d’une variable x pou-vant etre encore développée en série, procédant suivantles factorielles progressives x^ z , x-\ z , a: 3 ! 1 , etc., delàvariable, cherchons maintenant la loi des cocfftciens dece développement. Nous poserons donc (x)

** = A 0 + A I ^l I +A a x*l t + A 3 * 3l ' i + Â 4 xf‘+etc.

Prenant les différences successives des deux membres<le cette égalité, en prenant z pour l’accroissement de lavariable x (voy. Différence) , nous aurons les égalités

= zAj.-(- 2 sA a a;M* -j-3zA 3 ;c , l i + etc....

^ 00 := 2a 1 A a -j-2.3z 2 A 3 ar I ! I + 3.4z J A 4 a:*l I + ctc, “

* 3 0*=a.3z5A3 + 2. 3 .4z3A 4 .rd* +

1 + 3 . 4 .5z 3 A s x*' 5 + etc_

A = 3 -3-4z 4 A 4 _|_ 4“

“l" 3.4.5.6z 3 A s a;' 1 l 5 4 " etc....etc - etc....

fabaut dans toutes ces égalités, à commencer par ( 1 ),* 0 > nous obtiendrons

A„ = <px ,

2 . 3 z 3 ’etc., etc.,

et en généra’, m étant un indice quelconque,

ts m çx

A m -

2.3.4- • -mz m

le point placé sur x indiquant, comme ci-dessus,qu’il faut faii’e x=o après avoir pris les différences.

La loi demandée est donc ( 2 )

. . A dix x'i* . A *d>x x*l‘ ,

*x = *x+ —■ — +-*-• n +

. A 3 <ix x 3 l z ,

H--£-•- 5 + etc...

Z 4 1.2.3 1

Lorsque l’accroissement z est infiniment petit, lesfactorielles deviennent de simples puissances et le déve-loppement ( 2 ) se réduit à celui de Maclaurin qu’il em-brasse ainsi comme un cas très-particulier, quoiqu’il nesoit lui-même que le cas le plus simple de la for-mule donnée par M. Wronski, pour le développementdes fonctions en séries (voy. Facultés et Séries). Nousnous contenterons ici d’appliquer cette loi au binômedes factorielles, soit donc

çx = (a-\-x) m \ z .

Quelles que soient les quantités a, x, m, z, nous avons,f». étant un nombre entier quelconque, (voy. Diffé-rence)

&/ À [a-l~x)'“l z = m(m — 1 ). . .(m — fc-\-i)(a-{-x')" , ~Pi’zt 1 ,et, par conséquent,

<p± = a mz ,

Mbx

— T ■■ ■ = md n — i

z

A *<pxz»

etc.,

il t

= m(jn —i)a"‘~ J l',etc.

substituant dans ( 1 ) nous aurons donc

(a -f- a ?)"*! 1 = a m \ z + ma 1 i* x l \ z -J-

+

m(m -

■)

1.2

_|_ e t C -<

A,

A <px

et le binôme des factorielles se trouve ainsi généralementdémontré.

Nous donnerons dans plusieurs articles d’autres appli-cations de la méthode des coefficiens indéterminés (voy.Fractions continues, Séries récurrentes); ce quipre-

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