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CO

CO

. , M 56

transformant^ou 7—, en fraction continue, nous trou-N Jg

rerons

56

^ = 1, reste 17 ; d ou a, = 1

^9

*7

= 2, reste 5; d’où a , = 2

I H

—h = 3, reste 2: d’où a. = 3

5

— = 2, reste 1 ; d ou u 4 = 2

— — 2, reste o ; d’ou a, = 2

d’où nous obtiendrons

P, = 1P, = 3

P 3 = 10P 4 = 23P 5 --- 56

et enfin

Q. = .Q, = 2

Q.= 7Q 4 = 16

Q s = 39

X — 3yz -j- 1 76y = 56z -j* 253

ou

5-i.y = 6ox — 32,

en la ramenant à la forme générale.

Les facteurs de x et dey n’étant pas premiers entr’eux,cherchons leur pl us grand commun diviseur (voy. ce mot);ce diviseur est 4, qui divise également le nombre absolu32: ainsi l’équation est soluble en nombres entiers. Di-visant tous les termes par 4> elle devient

1 3y = i5z — 8i5

operant sur —nous trouverons «,=i, a a =6, a 3 =2,I <3

et par suite

P. = 1 Q, = 1

P» = 7 Q* = 6

P 3 = i5 Q 3 = i3

Nous avons donc,à cause de 0= —8 et de (—i)*=-|-i>

x — 13z —y = i5z — 56.

Si l’on ne veut avoir pour x et y que des nombres en-tiers positifs, il 11e faut prendre pour z que des nombrespositifs plus grands que 3, faisant donc successivementz=4 , z=5, z=6, etc., on aura la suite de valeurs

Mais x et y sont ici des inconnues auxiliaires, et pouravoir le véritable nombre demandé, il faut remplacerdans les équations (a), x et y par leurs valeurs. Nous au-rons , en nous servant seulement de la seconde,

X = 56 [3gz -J- 176]+ 27,

oc = 4 > y = 4x — 17, 19

X = 3o , y = 34

43, y —fa

etc. ... etc.

et, en réduisant,

X= 2i84z + 9 883.

z étant un nombre entier quelconque, on peut luidonner toutes les valeurs positives depuis 1 jusqu'àl’infini, et on obtiendra pour X des nombres entiers quisatisferont à l’énoncé du problème ; mais si l’on donneà z des valeurs négatives , on ne pourra pas dépasser—4 ; car en faisant z=—5 , la valeur de X serait néga-tive. Or, en faisant z=—4 > on a

X= 1147,

donc 1147 est le plus petit des nombres qui résolventle problème.

Prodleme II. Résoudre la congruence52 / = — 32 ( mod . 60 ).

Cette congruence est la même chose que l’équation in-déterminée

5 î y 32 = 60 x

dont chaque couple satisfait à l’équation 5‘jy=6ox —32-

11 est facile de s’apercevoir que les valeurs successive 5de.r et/ forment des progressions arithmétiques, et qu’ilsuffil de connaître deux de ces valeurs pour avoir 1“différence de la progression, et la continuer à l’infin*par de simples additions.

10. Les congruences du premier degré peuvent, ain 51que les équations, renfermer plusieurs inconnues, ctpou rles résoudre, il faut alors avoir autant de congruence 5indépendantes que d’incounucs. Mais cette résolution;qui forme la partie la plus importante de l’analyse tti'déterminée ( voy. Indéterminé), ne peut entrer dan 5 ' e

plan de ce dictionnaire. Nous renverrons donc à

fie-

Théorie des nombres de Legendre, et surtout aux r*cherches arithmétiques de Gauss . C’est à ce dcrnie*géomètre qu’on doit l’introduction dans la science de ' anotation et de l’idée des congruences ; il a ainsi, le p 1 emier, donné une forme systématique à cette brancheimportante de l’algèbre, nommée Théorie des[voy. ce mot), dans laquelle il a fait de nombreused’importantes découvertes.