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n’est généralement résoluble en nombres entiers quelorsque les facteurs A et M sont premiers entre eux. Sices facteurs avaient un diviseur commun, l’équationn’admettrait plus do solution générale, à moins que leterme absolu B eût ce môme diviseur : alors, opérant ladivision sur tous les termes de l’équation , on la ramè-nerait au cas où les facteurs des indéterminés sont pre-miers entre eux.

lin effet, si A et 1 VI ne sont pas premiers entre eux, soitH le plus grand commun diviseur de ces deux nombres,nous aurons

A=pD et

P et q étant des nombres premiers entre eux ; l’équationdeviendra donc

pDy = qT)x -j- Bou

, B

py = <J X + b'

et il est évident que x et y ne pourront être des

g

nombres entiers, à moins que -jj ne le soit lui-même,c est-à-dire, à moins que B ne soit divisible par D. Danste,dernier cas, soit ^ ==r > l’équation sera ramenée à

py = qx + r,

cas dont nous allons donner la solution.

• i. Soit l’équation générale

Ny = Mo: + O

dans laquelle N et M sont des nombres premiers entre

M

eux et tels queîï< M; transformons en fraction con-tinue {voy. Continue), nous aurons

M

N

— 0 >\

û»+

<vt -i

ag-f-etc.

+JL

Construisons avec les quantités a,, <* 4 , <* 3 > etc* • • ksdeux systèmes de quantités

P 4 =a 4 P 3 +P,etc. = etc.

P M —

Q< =

Q» “

Q3 — «sQ,-J-QiQ 4 = a 4 Q 3 -f-Q«etc. — etc.

Qji = «/..Q//-I -f- Q,/—:

r-'

Les valeurs des indéterminés x et y seront

ar = aQ» + Q^_. 0 (—i)M*»y= zP^ + P^-.Ot-iy+S

s étant un nombre entier arbitraire.

La déduction de ces valeurs est trop longue pourpouvoir trouver place ici •, mais on les vérifie d’unemanière générale sans aucune difficulté, car, multi-pliant la première par P^ et la seconde par Q«., on ob-tient

P/*x = P m Q,„ z-f-P,*. Q / ,_, 0 (-i)/'+ iQp.y = P/,Q.u z+P^-iQ.,. 0(—1)/“+‘

et, retranchant la seconde égalité de la première,

VpX—Qyy = [Pf/Q/i—1—P/i—iQ/J 0 (— 1 )/*+■ 1 .

Or, d’après les propriétés des fractions continues,on a

P/» = M , Q/* = Net

P/tQ,a— 1-P/i— iQ/i = (—0^ •

Substituant ces valeurs dans la dernière égalité, elledevient

Mar— N/ = 0(—1 )*/*+* ,

mais quel que soit p , 1 est un nombre impair , et

conséquemment (—1 )*/*+'=—1. Ainsi les valeurs gé-nérales, données pour x ct^, ramènent à l’équation

Nj = Mx + O,

et conséquemment la résolvent dans toute sa généralité.

12. Pour montrer l’application de ces formules, pro-posons-nous les questions suivantes.

Problème I. Trouver un nombre tel quen le divisantparZg, on ait 16 pour reste, et qu’en le divisant par 56on ail 27.

Désignant par x et y les quotiens entiers du nombredemandé divisé successivement par 39 et par 56 , nousaurons , ce nombre lui-même étant désigné par X, (a)

X = 39^+16, et X= 56 x + 27

et, par conséquent,

39 y + 16 =56 x 27.

Retranchant 16 des deux termes de cette équation, pourla ramener à la forme générale du numéro précédent, elledeviendra

= S 6 x + u

et nous aurons

N = 3 g, M = 56 , O » 11»