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CO
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x= — A-}-y/A 2 -|-B 2 , x= —A—y/A a -f-B 2
On prend donc une droite arbitraire pour unité; aveccette unité on construit deux autres droites égales à À etB, puis on cherche la quatrième proportionnelle par et 1 on construirait C=\/-A-*—J—15*en formant un trianglel’un des procédés donnés dans l’article Application I , rectaugle dont 1 hypothcnusc serait = G, les deux côtésn° B. Cette quatrième proportionnelle est l’inconnue de 1 angle droit étant pris égaux a A et B.demandée. Lorsque A est négatif, les deux racines deviennent
Equations du second degré. L’équation générale dusecond degré est
Elles sont donc, comme ci-dessus, la somme et la diffé-
x = A -|- C, x = A— C.
x* +px + q = o,
rence des lignes A et C.
p et q pouvant être des quantités quelconques, positives, Dans le cas où B serait négatif et plus grand que A, lanégatives ou zéro. Prenant une droite arbitraire pour quantité y/A 2 —B 7 ne pourrait être construite :les ra-unité, construisons les droites p et q et ensuite deux cines sont alors imaginaires.
Equation du troisième et du quatrième degré. Lesracines de ces équations peuvent toujours être déter-
aùtres droites A et B, telles que l’on aitA =ïp, B * — qY, i;
minées par les intersec-tions de deux sections co-niques; mais la construc-
ce qui se fait en prenant pour A la moitié de p et pourB la moyenne proportionnelle entre B et i (voy. Appl.
I, u° cj.;Ces quantités étant ainsi déterminées nous pou- ^ la plus simp i e e stvons donner à l’équation la forme tout aussi géué- cc n e qu ’ on effectue par leraie
z 1 -{- sAx -}- B* = o.
X— —A-j- y/ A 2 —B 2 , x= —A—y/A 2 —B 2
cercle et la parabole. Soityy'"ky"y' une paraboledont l’axe est AB et Vyy'x'"ÿ"y un cercle dontle centre est C et le rayonCy, coupant la parabole
valeurs qu’on peut construire aisément à l’aide du , .
1 r dans les quatre points
cercle. En effet, avec un
rayon AC=A ayant dé-crit un demi-cercleADB,prenons CE=B, et dupoint E élevons la per-pendiculaire ED qui ® E Tl
coupe la circonférence en D, cette perpendiculaire sera
égale ày/A 2 —B 2 , car en menant le rayon CD nous avonsle triangle rectangle CDE qui donne
CD* = CE* + ËD*ou
A 2 = B* -f-'ËD*
donc
y, y’, y", y. De ces points, menons les ordonnéesxy, x'y r , x'y", x'y"; menons en outre CD perpendicu-laire à l’axe et CE perpendiculaire sur xy. FaisonsAD=n, CD— b, Ax—x, xy=y , et désignons par p 1°paramètre de la parabole, et par r le rayon Qy ducercle. Ceci posé, l’équation de la parabole est
y* = px,
et nous avons en outre
cy = ce* + e y
Cy 2 = (Ax —AD) 2 (xy —CD)*
C’est-à-dire
ED = y/ A 2 —B 2
Si nous désignons ED par C, les deux racines de-viennent
x= —A+C, x~ —A—C,ou ce qui est la même chose,
x ~ ~~ ( A *— C), x — — (A. + C)
Ainsi abstraction faite du signe—, les deux racines sont
la somme et la différence des deux lignes A et C. y 4 — (ipa—p*)y 2 —-ibpy-\-(a^-\-b' x — r 2 )p = °"
Si le tel me Ë était négatif, les racines seraient Equation du quatntmc degré dont les racines s
r 2 = (x—a)* + (y — b ) 1 ,
ce qui donne, en développant, l’équation
x 2 —lax -f- a 2 -h / 2 — ‘iby-\-b* = r 2 .
Substituant pour x la valeur x= —, prise dansl’éqna-
p
tion y' x =px , et ordonnant par rapport :ir puissance