(X)

CO

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■> x 'y', x"y", x'"y"’. H suffit donc, pour construire uueQuation du quatrième degré, de la faire coïncider aveccette dernière. Or, la forme générale de ces équationsCst > après avoir fait disparaître le second terme ( voyez■^'Quadratique),

X 4 + Ax 2 4* Bx +C = o ;

disons donc

A = — 2 pa /?*

B = — 2 bp 2C = {à 1 -f- b* — f)p

et déterminons à l’aide de ces égalités lc6 quantités a,^' P,r avec lesquelles nous construirons le cercle et laParabole. Pour cet effet, prenons une droite arbitraireP°ur unité, et choisissons en même temps cette unitépour le paramètre de la parabole, c’est-à-dire, faisonsles coefficiens A, B, C étant ensuite construitsav<2c cette unité, nous aurons quatre droites connuesP’ A-, B, C. Mais les égalités ci-dessus donnent

A^2 P'

b

B

2 p 1 '

r=V [«*+&»-£].

Ainsi la valeur de a se construira en prenant la sommedeux droites dont la première — ou - est la moitié

’ 1 2 p 2

P, et dont la seconde — est la moitié de A à cause

■2f>

^ e P=i : la valeur de b est simplement la moitié de® > puisque p % = i ; quant à la valeur de /•, ou construirad’abord une droite auxiliaire m

puis on aura ,

r= X/a 1 -^

4 11 ' se construit sans difficulté.

Quanta la droite auxiliaire m, puisque p 1 > onl'eud son expression homogène en posant

Ce ^ revient à

C p*P

]■

ro=\/|V — Cpj

Cette droite se construit en cherchant préalablement'nie moyenne proportionnelle aux deux droites C et p ;Car e " désignant cette moyenne par n , on a

et par conséquent,

m=\/ô 1 —n 1

ce qui ramène m à être le troisième côté d’un trianglerectangle dont b estl’hypothénuse, et n le second côté.Voy. Application I, n. 2.

Les valeurs de a, b et r étant ainsi construites, aprèsavoir décrit une parabole dont le paramètre soit i ou p,on prend sur l’axe, AD=«; du point D, on élève la per-pendiculaire DC=ô, et du point C comme centre, avecun rayon —r, ou décrit un cercle : les ordonnées desintersections du cercle et de la parabole sont les racinesde l’équation

x 4 -(- Ax*-{-Bx-f-C=o.

En discutant les équations précédentes, on trouverafacilement le cas où toutes les racines sont réelles, celuioù elles sont toutes imaginaires, et enfin celui où deuxracines sont réelles, et deux imaginaires.

La construction des équations du troisième degré nediffère de celle du quatrième, que parce qu’une des in-tersections du cercle et de la parabole se trouve à l’ori-gine de l’axe, alors une des ordonnées s’évanouit, etlestrois autres sont déterminées par une équation à troisdimensions ou du troisième degré, avec laquelle il suffitde faire coïncider une équation quelconque proposée dutroisième degré pour construire géométriquement sesracines.

Yiète, Getaldus et Descartes ont donné la construc-tion des équations simples du premier et du seconddegré. Ce dernier ainsi que Baker’, dans sa GeomelricalKey, ont montré en outre comment on pouvait résoudreles équations du troisième et du quatrième degré parun cercle et une parabole; mais l’idée première deleurs constructions est due à Sluze qui l’avait exposée 'dans son ouvrage, Mesolabium , part. 2 . Newton , dansson Arithmétique universelle , traite cette question euemployant non seulement les sections coniques, mais en-core la conchoïde et la cissoïde qui se décrivent avecautant de facilité que ces dernières. Plalley , le marquisde L’Hôpital et Maclaurin se sont également occupés deces constructions, qui ont aussi fourni a Lahire le sujetd’un petit traité intitulé : La construction des équationsanalytiques. Nous renverrons à leurs ouvrages, ainsiqu’aux traités plus réceus d’application de l’algèbreà la géométrie, pour toutes les constructions des équa-tions supérieures au quatrième degré, les découvertesmodernes sur la solution algébrique de ces équationsayant rendu les constructions géométriques plus curieusesque véritablement utiles.

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m*—C p