378
CO
etc.
CO
£ Stm — J
_ 35 22
~ 9 + 445X9
= lA _i__
in 445X1.9
= 553 ■ r
4 a + 445Xi4 a
ainsi la fraction j-i , par exemple, est plus grande que
| «m_ 1
+ (—!)'■+* -±_—•a . ",
i L J m —t L J«—r
égalités au moyen desquelles on peut connaître facile-ment le degré d’approximation que donne une des frac-tions consécutives quelconque. „
t . i t33
i 8. Exemple. Soit proposé de réduire—^ en frac-
4*P
lion continue et de déterminer le degré d’approxima-tion de toutes les fractions consécutives. Les divisionssuccessives donnent
= 3, a t = i, «j = 8, a k 2, <*s •= 7, a 6 = 3et on a par conséquent
il33 3 1 J_
445 + i + <
8+1
a +J_
7+ 1
On construira les médiateurs
[-]■“ 3
t
[ -]• = <
[»•],= ’
[»■].- 35
[“•].“ 9
].- 3
H<~ ■«
[“•].“ 19
[«<_
],= 22
[*.],= 553
H,= ‘4*
[«,_■
1= 47
H 6 =, 7 33
[«.] s = 445
K
L= 39 *
Les fractions consécutives seront donc
et on a
35 24
9 ’ 19
553 1733
I42 ’ "445
3 +
398
445
_47
445Xi
la proposée de 7-^5-—-, et la
445X19
553
fraction —-plus petite
de , ‘ . On connaît donc ainsi avec exactitude le
445X42
degré d’approximation que donne chaque fraction con-sécutive.
22. Dans tout ce qui précède , nous n’avons considéréles fractions continues que dans leur acception arithmé-tique , et comme donnant la génération d’une quantitéfractionnaire déterminée; il nous reste maintenant à lesexaminer dans leur acception générale, c’est-à-direcomme mode particulier de génération de toute quan-tité quelconque, on de toute fonction d’une variable.
Avant tout, nous devons indiquer au moins la dif-férence qui existe entre la génération d’une quantitédonnée par l’un des modes primitifs et élémentaires degénération, et celle qui est donnée parmi mode uni-versel , tel que les fractions continues. Nous avons vu(Alg. 48) qu’il n’existe que trois modes élémentaires'pour la construction des nombres, représentés par le*formes générales.
A+B=C, AXB=C, A B = C.
Or, la coRStruction d’une quantité par un de cesmodes de génération est ce qui nous donne la natufeparticulière de cette quantité; par exemple, le côtéd’un carré, étant Vunité., sa diagonale est égale à y / 3 >et cette expression ou ce nombre y/2 nous fait connaîtr®la nature de la diagonale dont la grandeur est incoi®'mensurablc par rapport à l’unité. Mais si nous voulonsévaluer cette grandeur, c’est-à-dire, si nous voulons 1®mesurer par la quantité prise pour unité , nous pouvons»soit par l’opération arithmétique de l’extraction desi’®'cincs, soit en développant y/2 en série par le binon 16de Newton, ou par tout autre procédé, trouver d 6 *nombres dont la grandeur ne diffère de celle de \Z‘ lque d’une quantité aussi petite que nous le voudrons»ce qui nous permettra ainsi d’évaluer y/2 , sinon ex® 6tement du moins dans des limites aussi rapprochées <J Ü ;nous pourrons le désirer. !
En examinant les diverses manières d’évaluer y/ 3voit aisément que l’opération de l’extraction des rat- ^tout en nous faisant connaître des valeurs qui dide moins en moins delà véritable, selon qu onp*