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mesure. Si, au lieu de prendre .es rapports inverses de■px avec chacune des fonctions successives fx,fx,fx,etc., nous nous étions servis des rapports directs, nouseussions obtenu une autre génération technique dontnous n’avonspoint. à nous occuper ici. Voy. Sériés.

24. Pour mieux fixer les idées, supposons que la'onction F(x) soit \/{a-\-x), et que la mesure <px soitsimplement x. En exécutant les opérations indiquées ci-dessus nous trouverons, en partant de

F (*) = Vi a +x)

A 0 = y/(«+x) = y /a

te qui nous donnera d’abord

.1 cause de

F(x) — A o = fix

et de

X/(«+x) = ]/a + *ç /7l - + ^ _

ay/a+x

2y/«+e te.

fraction continue dont le nombre des termes est in-défini.

Si nous faisons a = 1 et x = 1, cette expressiondevient

V/2= I+ 1—2+1

a+i

2+1

2+1

2+etc.

Elle nous donne alors l’évaluation générale de la quan-tité \/2 , et il suffit de construire les médiateurs de cettefraction continue (i5) pour obtenir les fractions succes-sives alternativement plus petites et plus grandes que

\/ 2 .

En faisant x=o dans la valeur de F,x, nous devonsobtenir celle de A,, mais comme cette valeur devient

dans ce cas, il faut chercher préalablement à lui donnerune autre forme. Or, en multipliant les deux termesde F,(x) par y/(a+x)+\/«, nous obtenons

F, ( x) = j [y +H =vt«+*)- 1 /«

(a + x )—ace qui devient, en faisant x=o ,

F, (x) = A, =2 \/a

Passant de ces valeurs à celles de fx et de F,(x), nousaurons, à cause de',

JlX - FA,,fix = y/f <z+x)+y/«—2 \/a= \Aa+x)—\/a

d’où

\f[a-\-x j—y/«

Ce qui nous donnera encore, en multipliant les deuxtermes par y/(a+x)—y/a

i 2 x) = y/^a+x) + \/tiet

^ »(■-*•; — A i = 2\/«

En continuant de la même manière , on voit aisémentqu’on obtiendrait à l’infini, A 3 =2v / a, A»=:2y/a, etc.etc., et que la génération de \/(a+x), est

25. Après avoir reconnu la forme (z) de la généra-tion technique de toute fonction en fraction continue,il nous reste à donner la détermination générale desquantités A 0 , A t , A,, etc. , qui entrent dans cette frac-tion. C’est ce que nous allons faire, en nous servant dela méthode des coefficiens indéterminés (voy . Coeffi-ciens ) pour donner un nouvel exemple de la féconditéde cette méthode.

F(x) étant une fonction quelconque de x , et 1 fx uneautre fonction également quelconque prise pour me-sure; nous avons généralement, A„, A,, A a , etc. étantdes coefficiens dont les valeurs sont connues {voyezSehies ,

F(x) = A 0 +A,px+A il <p.z I +A3<px :i +A4<p.r*+etc.

* fMais nous pouvons faire successivement, A 0 ’, A,', A» 1

etc. , A”., A",, A",, etc., A"'„, A"',, A”„ etc., étant de*

coefficiens indéterminés ((>)

A ,<px + À^x 1 + A3 <px 3 + etc. =

__ <px

A' 0 + A’,<px+A' a ipx J +A' 3 0x 3 + etc-

A \<px + A'j^r 2 + A'3 px 3 + etc. =

_ <pr _

A"„+A" I (px+A" i px , +A"3px 3 + etc.

A".<px + A "$x % + A" x 3 + etc. =

___ çx _ _ .—

~ A"'o + A”,(px+TÂ'j+ A"3^X 3 + etc ‘

etc. etc.

Ces expressions substituées les unes dans le* *u^ re * ,nous donnent (c)