eu

407

eu

U. Déterminer le volume du paraboloide de révo-lution. L’équation de la parabole rapportée eu sommetétant

y'—'ipx

dans laquelle 'ip est le paramètre ; si nous substituonsdans (i), nous aurons

V =

dont l’intégrale est

V =npx*-{- C

Le volume étant nul au sommet, où l’on a x—o , nousav °ns, pour déterminer la constante, l’équation o=o+Cd’où C=o, ainsi, l’intégrale complète est

V=7T px*.

Nous pouvons mettre cette expression sous la forme

V z= mpx.-

ou

v=*r’

X

2

en remplaçant npx par sa valeur,/’. Mais iry* est l’aired un cercle dont,/ est le rayon (voy. Cercle, n°3i), etPar conséquent iry’.x représente le volume du cylindre,a yant izy* pour base, et x pour hauteur, c’est à-dire,du cylindre circonscrit j ainsi le paraboloïde de révo-lution est égal en volume à la moitié du cylindre cir-conscrit.

La cùbature du paraboloide trouve sou applicationdans le calcul de l’excavation produite par le jet desnaines.

Pour les solides qui ne sont pas de révolution. Foy.Volume.

CUBE ( Qéom .). Corps solide régulier, terminé parSu faces carrées égales entre elles. Voy. Hexaedre.

CUBIQUE (Aral,). Un nombre cubique est un

nombre formé par l’élévation d’un autre nom t e

troisième puissance« par exemple obique , pai'ce que 8=i 3 .

Puissance cubique , c’est la môme chose que troisièmePuissance ; comme racine cubique , et racine troisicsont des expressions synonymes.

Une équation cubique est egalement une équatdu troisième degré. Voyez pour la formation des 1

sances cubiques le mot puissance , et pour l’extractiondes racines cubiques, celui extraction des racines.Nous ne nous occuperons ici que des équations cubiquesquoique l’épithète cubique, pour désigner les équationsdu troisième degré ait beaucoup vieilli.

Equation cubique ( Alg .). Les équations cubiques oudu troisième degré, sont des équations dans lesquellesla plus haute puissance de l’inconnue est du troisièmedegré. Leur forme générale est

l

x 3 -l- Kx 1 -j-Bx+ C=oque l’on peut ramènera (i)

x?-\-px-\-q=o

eu faisant disparaître le second terme. Foy. Transfor-mation.

Pour résoudre cette équation, faisons x=y-\-z, yetzétant deux nouvelles inconnues dont la déterminationnous conduira à celle de X' } élevant au cube, nousaurons

x 3 =(y-\-z) i =y 3 +3y*z+3yz*-[-z i=y 3 + z 3 -f3yzQ4-z)«=./ 3 -f- zî +3./zx

ou

x 3 —3 yzx—y 3 — z 3 —o

Pour que cette équation soit identique avec (i), il fauqu’on ait

p = — 3rz

q — —y 3 —z 3

d’où l’on tire

w.

Telles sont les conditions que les valeurs de,/ et de zdoivent remplir afin que leur somme donne une valeurde x capable de satisfaire à l’équation (i). Or, en élevant(a) au cube, ou a

d’où

yH 3 -

Pl

a 7

r

p 3

2yz

3

Substituant cette valeur de y 3 dans (3) on obtient

z

3

,_pL

a y z 3

■9