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qui se réduit à

oh

CD

27

s «+ 7S 9 _^ =0

Iquation du sixième degré qu’011 peut abaisscrau second,en faisant z 3 =t, ce qui donne

, 3 +

1 ' 27

Les racines de cette équation qu’on nomme la réduite, ,sont les valeurs dey 3 et de z 3 , parce que ces valeurs sontsymétriques, et qn’en prenant dans (2) la valeur de z 3pour la substituer dans ( 3 ), on serait parvenu à uneéquation identique avec cette dernière. En la résolvantw t ’oy. second degré ), on a

2 v 4 2

et, par conséquent,

■ ■ *—ïVR

on en conclut, à cause de ar=y-j-z

27

CD

valeurs qui, étant combinées deux à deux pour formerx—y-\-z donneront toutes les racines de la proposée.Il est important de faire observer que parmi ces com-lunaisons, celles qui ne remplissent parla condition (2)

yz = —(j doivent être rejetées, et qu’il nercitc que les

trois suivantes

M+ Nje = aM -f- jSNjc = j3M -)- aN

ce qu’on peut aisément vérifier.

Les trois racines cubiques de l’unité étant [voyez Ra-cines).

. ——1 —\/— 3’ 2 ’ ~2

celles de l’équation (i)sont définitivement

~é[-?+v(?v;;)]+

^[-1 -✓(K)]- '

' ~v[--i+v'(î+$]x=h^++vH-v(f+'4)]x=^.

-é[-I+v(f+'i)]x

— 1 —v—3

cette expression est nommée la formule de Cardan.Voy.Algèbre, Cardan et Cas irréductible.

La formule de Cardan semblerait ne donner qu’uneseule valeur pour x, mais on peut facilement la ramenerà lui faire exprimer les trois racines. Pour cet effet, re-marquons qu’en général, u étant une quantité quelcon-que , on a non-seulement

2 7 '

Pour examiner la nature des racines données par ccSexpressions, il suffit de considérer le radical carré

v/ff+s

\/u 3 =u

mais encore

/ v

\/u 3 =au et y /u 3 =fiu

1, a, ^désignant les trois racines cubiques de l’unité.Ainsi, repiéscotant par M et N les quantités comprises.ous les radicaux cubiques, les valeurs de^ et de z sont

^ = M , r = «M , y = ( 3 M.

Z ” N , Z — ciN , Z = pN.

.4 27 >

qui sera réel ou imaginaire , selon que la quantité * oU *le signe sera positive ou négative. Or, nous pouvo » 5avoir

f+ P ->o, f+£=o, f+^<o

4 1 27 4 37 4 27

Dans le premier cas la quantité sous le signe étant P°*‘tive, le radical est une quantité réelle, et par consequent les deux expressions