DE DK

Éliminons d’abord^' au moyen des équations (2) et ce qui donne pour les valeurs de x etdej ' 1( 5 ), nous aurons

«(y—P)

U3

X —a —

P'

qui, combinée avec ( 1) donne immédiatement

En substituant dans l’équation (1), on obtient

* + y/«' t +P y ^ + V/a’+P"

Lu substituant ces valeurs dans ( 4 ), on obtient :

équation qui, combinée avec <p(a, p , p)=o, donnée parL problème servira à déterminer a et (3 en fonction de

P? et par conséquent aussi x et y.

Dr, la relation p^y/a^+p’’ existant quelleque soit^ équation de la courbe lieu des centres des cercles qui°“t un contact du second ordre avec la courbe cher-c l>ée, on voit que la courbe demandée est telle que lela yon p est égal à l’arc de la courbe des centres. De plusce rayon est tangent à la courbe des centres. En effet,tangente à cette courbe a pour tangente d’incli-

t,a ison

P'

mais le rayon p est normal à la courbe dont

Si maintenant on pose a — ^ = J; c’est-à-dire , si on

transporte l’origine des coordonnées à l’origine delà dé-veloppée, on aura pour l’équation de la développée,

P' =

i6(P2 7 P '

Cette courbe aura deux branches, dont l’inférieureengendrera la branche supérieure de la parabole, et viceversa.

On pourrait, en suivant la même méthode , trouverl’équation de la développée de la cycloïde, mais nousallons déterminer la nature de cette courbe à l’aide deconsidérations géométriques.

ordr

* es coordonnées sont x C-ty, et la tangente de l’angle1 U il fait avec l’axe des x est-V. Or de la relation

y

j j P'y 1 s’ .

T-^-=0, on tire- r =- L 7 , donc le rayon p est

^ y a

an gent à la courbe des centres.

Le rayon des cercles qui ont un contact du second

J *

ure avec une courbe étant toujours tangent à la courbelieu des centres de tous ces cercles, et en même tempse S a l à l’arc de cette courbe; il suit qu’une courbe quel-conque peut être considérée comme engendrée par ledéveloppement de celle qui est le lieu des centres del ° us * es cercles qui on t avec e l] e un contact du second®‘dte. Cette dernière courbe est donc la développée deP*einière; le cercle qui a un contact du second ordrec i® courbe donnée est son cercle osculateur , et sonYen est le rayon de courbure de cette courbe.

PP'iquons maintenant cette théorie à quelquesetn plcs. Proposons-nous de trouver la développée deP a >aboie donl l’équation est

(1)- y*=px.

Prenant les dérivées, on a

lou

‘jy

_ P'4 y 3

*y

p'

Le rayon de courbure de la cycloïde est égal à deuxfois la normale à la courbe (voyez Rayon de courbure, ;or , la valeur maximum delà normale est celle qui cor-respond à la position OD dans laquelle elle est égale à2 r,r étant le rayon du cercle générateur. Donc le rayonde courbure a pour valeur maximum DD' == 2OD, etle point D' appartient à la développée. 'Le point M ,qui est sur le prolongement de la normale MR, et telqueM'R=MR, est aussi un point de la développée. Dé-terminons maintenant la nature de cette courbe. Pourcela par le point D' menons D'F parallèle à AR, pro-longeons le diamètre RG jusqu’à sa rencontre en Favec cette droite , et menons FM'. Les deux triangles,MGR. et M'F étant égaux, l’angle en M' est droit puis-que celui en M l’est aussi, ce qui prouve que le cercledécrit sur RF passe par le point M'. Les deux droitesM'F et MG étant égales, les arcs qu’elles sous-tendentsont égaux, et on en déduit