442

DE

DE

décrit du rayon de la développée; aussi ce rayon a-t-ilreçu le nom de rayon de courbure, et le cercle celuide cercle de courbure, ou cercle osculateur.

Cherchons maintenant comment pour chaque pointd’une courbe nous pourrons déterminer son cercle os-culateur, et parlant le lieu de tous leurs centres. Sinous comparons le cercle dont l’équation générale est

(x—xj'+'y—£)>=[>'

avec une courbe .y , pour exprimer que ces deuxcourbes ont un point commun, il faudra que dans l’uneet dans l’autre les coordonnées de ce point soient lesmêmes, ce qui donnera l’équation,

H-x/p 2 —(*—*)'=?

qui permettra de déterminera, p et p en fonction dex, y, y et y". Le cercle sera alors complètement déter-miné, et il sera tel qu’aucun autre cercle ne pourrapasser entre lui et la courbe au point x, y. Eu effet,pour déterminer les coordonnés ne t f du centre de cenouveau cercle , et son rayon R, il faudrait exprimerque dans ce nouveau cercle et dans la courbe,j - , y’ et y"sont les mêmes, ce qui donnerait les mêmes équationsque celles qui ont servi à déterminera, p etp.

Le cercle que nous venons de déterminer a un con-tact du second ordre aupoint x ,y avec la courbe. C’estle cercle osculateur de cette courbe; et le lieu des centresde tous ces cercles est la développée. Cherchons eu effetla courbe qui, en chacun de ses points aura un contactdu second ordre avec le cercle dont l’équation est

En égalant les valeurs dey', première dérivée de y,dans les équations des deux courbes , nous exprimeronsquelles ont une tangente commune au point x,y, etnous aurons les relations

x —a ,

v 4 2 —*)* y

Voyez Fonctions .

De ces deux équations on tire pour les valeurs de aet de p en fonction de x, y, y' et p :

?y

( i+/ a )“

p=y +

Si le rayon p était donné, le cercle dont les coor-données du centre seraient a et|3, serait tel qu’entrelui et la courbe, on ne pourrait faire passer au-cun autre cercle du même rayon; car pour déter-miner les coordonnées n et g du centre de ce nouveaucercle, on aurait les mêmes relations que celles qui ontservi à déterminer a et jS

Le cercle dont le rayon estp, étant tangent à la courbeau point x,y indépendamment de toute valeur de p, sion suppose le rayon indéterminé, et qu’on l’élimineentre les valeurs de a et p, on aura la relation.

js=r +

X —a

y 1

qui est l’équation d’une droite, laquelle sera par consé-quent le lieu des centres de tous les cercles tangens à lacourbe au point x, y, et qui alors sera normale à lacourbe en ce point.

Si maintenant nous exprimons que y" est le mêmedans le cercle et dans la courbe, nous obtiendrons la re-lation

y = ■

p*

(p*—(.r—«)»)

(x—a)*+(y—by=p%

et dont les éléniens du contact a, p et p ont entre euxla relation <p (a, p , p)=o.

Pour y parvenir , on pourrait substituer dans cettedernière équation les valeurs de a, jS, p trouvées ci-dessus, et à l’aide de l’équation du second ordre ob-tenue, on remonterait à l’équation primitive. Mais si onsuppose les quantités a , p et p constantes, ce qui re-donnera l’équation au cercle , on aura l'équation primi-tive complète; et si on fait varier a, p, p, de manièreque les équations primes et secondes de l’équation ducercle, soient les mêmes que si ces quantités étaient re-gardées comme constantes, ou aura une équation pri-mitive qui sera celle de la courbe enveloppant tous lescercles représentés par lamême équation.

On obtiendra cette équation en éliminant les quaii-

B' o'

tités a, 8, p et*-, , -, entre les équationsoc oc

(0. (*— «Y+iy—PY=p'

( 2 ) . x—ct+{y—p]y '=0

(3) . ?(«, P, p)=o

et les équatious primes de celles-ci prises relativementaux seules variables a, p et p, et qui sont

( 4 ) — (x—,(y—P)=^~,

oc a

(5) .... t + 4y=°

(6) — y «+A- y p + <p' p=°

CL CL

Mais les valeurs de x et de y se présentent généralement ainsi sous une forme compliquée, il est pl^ ssimple de chercher à les déterminer à l’aide d’une t* 01sièine variable.