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or

us

dérer cette quantité Apx comme une nouvelle fonctionde x qui peut admettre aussi un accroissement corres-pondant à celui de la variable x. Ainsi, eu supposantque x croisse encore de la même quantité Ax , on au-rait après l’accroissement

Ap(x-\-Ax ),

et la variation correspondante de la fonction A<px , oula différence de cette fonction serait

A(A 0 x) — Ap(x-\-Ax) —Ai px.

La différence de Apx ou A{Apx), s’exprime par A*px,et c’est ce qu’on nomme la différence seconde delà fonc-tion <p. v.

9. Un a donc pour la différence seconde de px, l’ex-pression

A*px = Ap(x-f-Ax)— Apx.

Substituant la valeur de A <px ou p(x-f-Ax) — px , celteexpression devient

A’ipx = Ap[x-\-Ax) — p{x-\-Ax)-\-px t

mais on a aussi, d’apt es l’expression générale du nu-méro 4;

Ap(x-j-Ax) = «^(x-J-aAx)—p(x-j-Ax).

üonc , la différence seconde est

A'tpx = p(x-}-2Ax)— ?i<p(x-\-Ax)-\-<px.

10. Considérant de nouveau A *<px , comme une nou-velle fonction de x, sa différence A[A*ipx) ou A l çx serala dijfétence troisième de px, et, d’après ce qui précède,ou aura

A 3 <ÿx =A 2 p(x-\~Ax) —A ’pxMais, d’après 9

A'p{x-\-Ax) = <p(x-j-3Ax)— 2 p(x+ 2 Ax)-|-<p(x-j-Ax)A’ipx == ^(x+aAx)—20(x+Ax)-j-0x ,

Ainsi, eu substituant, on trouveraA 3 px = p(x-|-3Ax)— "ip{x-^-iAx) -|- 3 f (x-f-Ax)— px.

11. En suivant la même marche on trouverait, pourla différence quatrième de <px , l’expression

A i çx = <p(x-J-4Ax)—4 < ?(' r -|'3‘i'^)'f'^ < P( x "l _ aAx) —

—4<P(x-f Ax)+^x

12. D apres ce qui précède , en remarquant que lescoefficicns numériques de ces développemens sont lesmêmes que ceux du binôme de Newton, on peut oon

dure, par analogie , que la différence m ième de la fo*A vtiou (px doit avoir pour expression générale

A m <px = ip(x-f-/7iAx) — mp(x -j- {ni —i)Ax) -|-

, m{m —1) . , , „ .

-)-—-— p[x-\-[m — 2 jAx) — etc... .(— i) M px,

le dernier terme px ayant le signe lorsque ni est paiiet le signe — lorsqu’il est impair.

En renversant cette expression on peut lui donner laforme plus commode

A m <J>x=(— 1 y» J ~px—mp (x-j-Ax)

mlm —1) ....--- -ip(X-j-2Ax)

1 .2

’!L(”±=±L(™-Z?1 <p {x + 3 ax )

ip(x-j- 4 Ax)

1 . 2.3

m{m —1) {m —2) m — 3 )

1.2. 3 . 4

i 3 . Pour donner une démonstration générale decette loi, il suffit de prouver qu’elle est vraie pour I 3différence de l'ordre //i-f-1, en la supposant vraie pou'’la différence de l’ordre ni-, car il est évident que puis -qu’elle se vérifie en faisant m=!\, il en résultera qu'ell eest également vraie pour m= 5 , et par suite pour toutesles valeurs entières de m.

Or, en désignant, pour abréger, par i l'accroissementAx de la variable x , relie loi est (a).

A m px=l —iV"£<px— mp{x-\-i) -J-

. mlm —1) ... 1

H— p{x+'M)~ etc.J

Prenant la différence des deux membres de cette ég alité, on a

A{A m px)={ — 1 )"* ^(x-j-i)—«;p(.r+a/)

+ 2!2t=tW;;- ««••••]

^p x —mp{x+i)+

+ fc-W+D-««••••]

Ou , en effectuant l’addition des coefficicns desmes fonctions,