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*ia*I la fonction ax a reçu un accroissement am par•nite de l’augmentation éprouvée par x. Si aucontraireOn avait diminué x de la même quantité ni , ax serait

devenue

a{x — ni) ou ax—am ,

et par conséquent la fonction ax aurait éprouvé unediminution am correspondante à la diminution ni de x.Dr c’est cette variation am, en plus ou eu moins, qu’onnomme en général différence de la fonction ax.

3- De même , soit a-\-bx z une autre fonction delàVariable x-, eu la désignant par^, nous aurons l’expres-sion

y = a -J- bx 1

et il est évident qu’en faisant varier x, y éprouvera uneVariation correspondante. Désignons par y ce que de-vient^ lorsqu’on augmente x d’une quantités, nous••irons

ÿ=a-\-b[x-\-nY ,

•nais la variation subie par.y pour devenir^', ou.y' — y,est

«+*(«+«)’J — £« + Zix’J,

o est-à-dire,

Uniment petites, dans le premier cas le calcul des diffé-rences prend le nom de calcul des différences finies,et dans le second, celui de calcul différentiel. Nousallons procéder à l’exposition des lois générales de cescalculs et de leurs applications les plus importantes,puis nous jetterons un coup-d’œil sur 1 histoire de leurintroduction dans la science et sur les diverses considé-rations métaphysiques auxquelles ils ont donné lieu.

7. Calcul des différences finies. La.différence d’unefonction étant la variation qu’elle éprouve lorsqu’onfait croître les quantités variables qu’elle contient, larègle générale pour trouver cette différence est doncde retrancher la fonction primitive delà fonction variée,et c’est ainsi que nous avons trouvé ci-dessus

Apx - <p(x-\- Ax) — <f>x ,ou

Apx — <px — <p(x — Ax)

en prenant l’accroissement négatif.

Il résulte de cette construction, que pour obtenir ladifférence d’une quantité composée telle que. A-j-Bx ,dans laquelle À et B sont des quantités constantes et xune quantité variable, il suffit de faire varier le terniequi contient x, c’est-à-dire qu’on a

A(A+Bx) = BAx,

a-J- bx 1 -\-bnx+ bn 2 — a — bx 2 = bnx -\-bn*.

Ainsi bnx-\-bn* est l’accroissement ou la différence dela fonction y.

4- Généralement, <px étant une fonction quelconquedex, si nous désignons par Ax l’accroissement qu’onfait subir à la variable x et par A tpx l’accroissement quien résulte pour la fonction <px , nous aurons

Ayx = <p(x-\- Ax) — tpx,

et. si au lieu de faire varier x en plus nous l’eussionsfait varier en moins , nous aurions eu

A -<px — çx—<p{x — Ax).

5. <px étant une fonction quelconque de la seule va-fiable x, si nous la désignons par,/, nous aurons l’ex-pression

et nous pourrons alors considérer^ comme une autreVariable , mais dont les variations dépendent de cellesde x. On dit alors que y est une variable dépendante ,lan dis qu’on nomme x une variable indépendante.

Les accroissemens qu’on fait subir aux variablesVeuvent être considérés comme des quantités réelles ou•déales, c’est-à-dire, comme des quantités finies ou in-

car la quantité A, ne recevant aucun accroissement,disparait lorsqu’on retranche la fonction primitive dela fonction variée; en effet on a

A(A+Bx) = (A+B(x+Ax)) —(A+Bx)A-f-Bx-j-BAx—A—Bx= BAx

On aurait par la même raison

A^A-j-Bx-j-CjJ = BAx+CAj-,

et ainsi de suite dans tous les cas semblables.

Il est facile de voir qu’en géuéral la différence d’unesuite de termes telle que

<px -(- <p'y -f- + etc.,

tpx , tp’y, <p"z, désignant des fonctions quelconques desvariables x, y, z., se trouve en prenant la différence dechaque tenue, ou qu’on a

A|Vx-)-(py4-p"z-|- e t c .J=Apx-j-A(py-)-Ap"z-J-etc.

8. lupx désignant toujours l’accroissement ou la dimi-nution éprouvée par <px, lorsqu’on augmente ou qu’on

diminue la variable x delà quantité Ax, on peutconaï-